Variational Quantum Algorithmによる幾何学的最適化

　量子コンピューティングによって、「アメーバ」のような形の閉曲線に内接する正五角形を見つけ出そう！（→英語版はこちらです。）

🟠閉曲線の内接正五角形を探す

　どんな単純閉曲線の上にも、正方形の4頂点となる点の組が存在することが（一部の例外を除いて）、すでに証明されています。これは内接正方形問題として知られています。では、正方形ではなく、正五角形（およびそれ以上の角数の正多角形）は必ず存在するのか？実は、それは未だ数学的に明らかにされていないようです。ここでは、量子コンピューティングの手法によって、具体的にそのような５角形を探します。もちろん、数学的証明ではなく、数値的に一定の誤差の範囲内でそれを求めます。

🟠変分量子アルゴリズム（VQA）の応用

　今回は、量子・古典ハイブリッドアルゴリズムであるVQA (Variational Quantum Algorithm)を採用します。概要は以下のとおりです。

・Ansatz (量子回路): 

　5つの頂点を表す変数（その値は、曲線を一周する 0〜2π）を、量子回路の回転ゲート（Ryなど）のパラメータとします。

・コスト関数 (古典側): 

　5辺の長さが等しいこと（隣接する点間の距離の分散を最小化）と、5本の対角線の長さが等しいこと（対角線距離の分散を最小化）を表現します。

・最適化: 

　量子回路側からの勾配を要求しない、古典オプティマイザ（COBYLA等）を用いて、量子回路の期待値が最小（正五角形にできるだけ近づくよう）になるようパラメータを更新します。

・実装：

　Qiskit 2.xの Sampler を使い、量子回路の状態を座標に直接対応させ、Ansatzにより、5つの量子ビットの回転角θiを、曲線上のパラメータ tiとみなします。そして、古典側で、Samplerでの実測から、期待値の近似値、すなわち、得られた準位（状態）から現在の幾何学的配置を評価します。

　VQA以外に、QAOAという方法もあります。QAOAの方は曲線上の点を離散化して、そのうちの最適な５点の組み合わせを求めるのに対して、今回のVQAは「連続的な探索」に特徴があります。さらに詳しいことは、別記事で書きたいと思います。

🟠VQAの動作の可視化

　最初に、下図のアニメーションをご覧ください。閉曲線がアメーバのように動き回る中で、VQAは正五角形を追い続けている様子が分かります。これを眺めていると、量子アルゴリズムは、化学計算や金融最適化だけでなく、こうした純粋幾何学の探索においても強力なツールとなるように思えます。

　さらに、閉曲線を一つ固定して、VQAがどのように正五角形を探索しているかを見ることにします。以下のアニメーションがその一例です。

🟠VQAが求めてた正五角形の精度

　以下の図に、VQAで求めた、正三角形、正方形、正五角形の精度を示します。角数が増えると、次第に高精度を求めることが難しくなって行きます。それでも、右端の正五角形の場合、かなり高い精度になっています。具体的には、５つの辺の長さの平均値=1.096、標準偏差=0.00016でした。また、５つの対角線の長さについても、平均値=1.773、標準偏差=0.00043です。

🟠量子コンピュータ実機を使う場合

　今回は、Qiskitによるシミュレータでの実行でした。実機でもやってみたいのですが、無料ユーザ（Open Plan）はsession機能を使えないので、上記のような量子/古典ハイブリッドジョブをそのまま投入することができません。そのため、かなりの部分をシミュレータで実行して、それを利用して、最後の１回か２回程度の評価をジョブとして実機に投入する、などの工夫が必要になります。この件も、後日報告したいと思います。