ビジュアル観察：機械学習カーネル法と代数多様体の特異点解消

　少し大袈裟なタイトルかも知れない。「機械学習SVCにおけるカーネル法」と「代数多様体の特異点解消」の考え方に共通点があるように思われたので、ごく簡単な一例でその関係性をビジュアルに観察した。

🟢一般向け数学講座ビデオ

　きっかけは、石井志保子東大名誉教授による一般向け数学講座「代数多様体の爆発（Blow up)」 （こちらのYoutubeビデオ）を見たことである。易しく、とても分かりやすく、素晴らしいと感じた。この講座には、当然ながら、機械学習の話は出てこない。だが、小生が感じたことを以下に記したい。

🟢機械学習SVC（Support Vector Classifier）のカーネル法

　まず、Fig.1は、よく知られたSVCを利用する簡単な適用例である。Fig.1(a)は、ある曲線に載った2Dデータで、赤青にラベル付されている。ご覧の通り交差した配置なので、ここで、線形に"スパッ"と赤青にクラス分けすることはできない。しかし、カーネル法という方法で、2Dデータを高次元（この場合は3D）に持ち上げ、そこで学習させると、Fig.1(b)に示した緑色の平面で線形分離できるようになる。

🟢１次元代数多様体の特異点をBlowupで解消させる

　ここからは、上記の解説ビデオに基づく話になる。ただし、Fig.2とFig.3は小生が独自に作成したものである。

　簡単な１次元代数多様体をFig.2(a)に示した。原点が特異点になっていることに注意されたい。ここでは、機械学習のような分類問題ではなく、この特異点を解消して滑らかな曲線にしたい。そこで、Fig.2(b)に示すように、blowup（爆発）という方法で、曲線を2Dから3Dへ持ち上げる。すると、赤い点の特異点が青い点２つに分離されて、滑らかな曲線となる。

　このBlowupという方法をFig.3に示した。xy平面において、原点を通るあらゆる直線について、平面での傾きをZ軸の高さとして、そのまま持ち上げる方法である。

🟢カーネル法とBlowupの共通点

　上記に述べた２つは、データ分類のためのカーネル法と、特異点を解消するためのBlowupである。両者の目的は異なるが、「２Dデータを高次元へ持ち上げて問題を解決する」という共通のアイディアがあるように思われる。

　別の見方をすれば、（このビデオで言及されていたことだが）元々はある空間において、「明確に分類されていた」、あるいは「特異点のない滑らかな曲線であった」のだが、２Dへ写像したために、データのクラスが混在したり、どこかが潰れて特異点ができた。それを、元の空間へ戻して、本来の姿を復元させるという共通点があるのではないか。

🟢感 想　

　機械学習や量子コンピューティングは、数学の分野（多様体論や圏論など）とまだまだ深い関係がありそうだ。少しづつ馴染んで行きたいものである。

　また、別の話だが、Fig.1〜Fig.3を描くプログラムコードは、生成AI（GeminiやChatGPT）の助けを借りて、ほとんど自動的に素早く作ることができた。時代は変わったとつくづく思う次第である。

How precise is Quantum Teleportation?

 Quantum Teleportation Demo Using Dynamic Circuits

（末尾に日本語版があります）

In the past, performing a quantum teleportation demo—transferring a quantum state from Alice to Bob on real hardware—required the process to be split. Alice would measure her qubits, the job would terminate, and Bob would then have to initiate a new quantum circuit based on those measurement results.

However, with the recent introduction of Qiskit’s Dynamic Circuit capabilities, this entire process can now be completed in a single job submission. This functionality makes it significantly easier to verify the transfer in real-time. Our experiments on the IBM Quantum Heron r2 hardware demonstrated that teleportation can be executed with remarkably high precision.

🟢 Teleportation via Dynamic Circuits

Figure 1 illustrates quantum teleportation utilizing dynamic circuits. Suppose Alice wants to transfer a quantum state created by applying an Ry(pi/3) gate to qubit q0. Note how the dynamic circuit uses Alice's measurement results to conditionally apply X and Z gates to Bob’s qubit via "if" statements.

At first glance, it might appear that Bob is not performing any measurements. If Bob were to perform an explicit measurement, we could determine the probability of the state being |0>, but the state would collapse, preventing further detailed analysis. To solve this, we utilize Qiskit’s StateTomography tool. Although not explicitly shown in the high-level circuit diagram, it performs internal measurements to reconstruct the density matrix, allowing us to calculate the exact fidelity of the transfer.

🟢 Verifying Transfer Fidelity via Density Matrices

The results of our fidelity analysis are shown in Figure 2. We conducted these experiments using ibm_torino (Heron r1) and ibm_marrakesh (Heron r2), both available under the IBM Quantum Open Plan.

Notably, on ibm_marrakesh, we achieved a fidelity of 0.97 between the state sent by Alice and the state received by Bob. This represents an extremely high level of agreement—one could say the teleportation was nearly perfect! 

Moving forward, we plan to experiment with a wider variety of quantum states and explore the teleportation of multi-qubit systems.

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【日本語版】

動的回路を用いた量子テレポーテーションのデモ

- 量子状態転送の精度のテスト-

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　AliceからBobへ量子状態を転送する量子テレポーテーションのデモを実機で行う場合、これまでは、Aliceが量子ビットを測定した時点で、実機の処理を終える必要があった。そして、その後、Bobはその測定結果に基づいて、新たに量子回路を操作する必要があった。しかし、最近のQiskitのDynamic Circuit機能を使えば、実機へのジョブ投入が１回で済むようになった。この方法により、転送の状況を検査するのが容易になる。IBM Quantumの実機Hereon r2で実験したところ、非常に高い精度で量子テレポーテーションが実行されることが分かった。

🟢動的回路を使った量子テレポーテーションのデモ

　Fig.1に、動的回路を使った量子テレポーテーションを示す。Aliceは、量子ビットq0にRy(π/3)を施した状態を作り、それをBobへ転送したいとする。Aliceの測定結果を利用して、動的回路（if文の制御によるXゲートやZゲート）がBobの量子ビットに適用されていることに注意する。

一方、Bobは何も測定していないように見える。もしも、Bobが明示的に測定を行うと、転送された量子状態の|0>の確率は分かるが、そこでcollapseしてしまうので、それ以上の詳しい解析ができない。そこで、この回路図には現れていないが、QiskitのStateTomography というツールで内部的に測定させる。その結果から、密度行列を作り、それに基づいて転送の精度を調べることができる。

🟢密度行列に基づく転送の精度の検査

　このようにして検査した転送の精度をFig.2に示す。使用した量子コンピュータは、IBM　QuantumのOpen Planで提供される、ibm_torino (Heron r1)とibm_marrakesh (Heron r2)である。特に、ibm_marrakeshの場合、Aliceが送った量子状態と、Bobが得た量子状態とのFidelityは0.97という、極めて高い一致度を得た。ほぼ、完璧に転送が行われたと言えるだろう！今後、他の量子状態も試したり、複数の量子ビットの状態の転送なども調べたい。

------ private notes --------------------------------

IBM_New...2025_07_01の環境/forQiskit2x/

Teleportation_動的回路A.ipynb

Teleportation_動的回路B.ipynb

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コマドリは渡りに「量子もつれ」を使っているらしい（簡略版）

　本日は大晦日です。今年最後の記事は、前回のこちらの記事の縮小バージョンとしました。

　ある説によれば（科学的に十分な解明はなされていないが）、「こまどり」は、ある条件下で、「量子もつれ」という状態の量子（ここでは電子）のペアをたくさん作ります。２種類あります。一つは[1]singletと呼ばれる、スピンの向きが逆のペアであり、もう一つはスピンの向きが揃った状態の[2]tripletです。この２種の状態は、相互に行ったり来たり遷移します。

　驚くべきことに、コマドリは、全体に占める[1]singletの割合から、地磁気との角度θを認識しているとのことです！例えば、[1]と[2]が同じ比率ならば、地磁気と垂直な方向に向かっており、[1]の割合が増えると地磁気の向きに近づいいる、という具合です。

　この状況は、図の下段に示すように、量子回路でシミュレーションで再現できます。例えば、シータが30度ならば、[1]singletの割合は0.93となります。このことから、コマドリは、量子コンピューティングを利用していると言える（かも知れません）！？

Robins May Use “Quantum Entanglement” for Migration

Summary:
The European robin, a migratory bird, is said to sense the direction of Earth’s magnetic field by using quantum entanglement, helping it navigate toward its destination. Although the mechanism has not yet been fully explained scientifically, I used this idea as a simple example for quantum computing and explored the question, “Why is quantum entanglement necessary?”

→日本語版はこちら

🟢Robins may sense Earth’s magnetism using quantum entanglement

A short article in the Japanese science magazine Newton (May 2022) suggested that migratory birds might make use of quantum effects. According to the article, when a robin’s eye receives blue light, a protein in the retina called cryptochrome produces many pairs of electrons in a quantum-entangled state. These pairs come in two types:

[1] singlet, where the spins point in opposite directions, and
[2] triplet, where the spins are aligned.

It is said that by comparing the proportions of these two states, the bird can sense the angle of Earth’s magnetic field.

Here, we assume that the bird is trying to fly roughly in the direction of the Earth's magnetic field. As illustrated below, if all pairs are in the singlet state, the bird perceives itself as facing parallel to the magnetic field and flies in that direction. If singlet and triplet appear in equal amounts, it perceives itself as perpendicular to the field and will look for another direction.

🟢Checking the idea with my own quantum-circuit simulator

The article itself was only a brief overview. Rather than stopping there, I decided to reproduce the situation using my own quantum-circuit simulator. Since the robin is thought to judge direction from the proportion of singlet states, I modeled this behavior for quantum computing and ran simulations.

To summarize the results: when the singlet proportion was 0.5, the corresponding angle was 90°, so the bird could not proceed. After “trying again,” the bird found a case where the singlet proportion became 0.93. The corresponding angle was 30°, which seems suitable for flight — so the bird could continue in that direction.

This is exactly a practical use of quantum computing. As an exercise for beginners, it is a very good learning problem.

In the circuit I created, two qubits are first flipped with X gates, then passed through a Bell circuit to generate a singlet. After that, I simply apply a rotation gate RY(θ) to the first qubit. By changing θ, the proportion of singlet states increases or decreases, representing different angles between the bird and Earth’s magnetic field.

🟢Testing on IBM’s real quantum computer

Up to this point, everything was done in my simulator. However, when I ran the same circuit on IBM’s real quantum hardware, I obtained nearly the same results, as shown below.

🟢Why is quantum entanglement necessary?

The discussion so far is already complete in one sense — but why do we need quantum entanglement at all? In fact, if we remove the Bell circuit from the circuit above, it still seems possible to change the proportion of singlet and triplet states. That is a very good question, and my answer is as follows.

However, because entangled states are more fragile than tensor-product (separable) states, it may not necessarily turn out exactly as described below.

In short, I believe entanglement is required in order to follow “the rules of the quantum world.” Although I did not explain it earlier, in the first diagram I wrote the words “cancellation” near the singlet and “amplification” near the triplet. These words actually matter.

First, it would be extremely difficult, considering environmental disturbances, to prepare many pairs of electrons whose spins are perfectly anti-aligned from the beginning. On the other hand, if the electron pairs are entangled, it becomes possible to maintain a stable situation in which “the total spin is zero.” This is what I meant by “cancellation.”

Next, Earth’s magnetic field is very weak. When electron pairs are in an entangled state, it becomes easier for them to transition between singlet and triplet with only a very small amount of energy. For example, when moving to the triplet state, the electrons do not respond to the magnetic field one by one. Instead, they respond as an entangled pair, so their sensitivity can be amplified. That is the meaning of the term “amplification” in the triplet diagram.

In summary, if we were only changing the proportions of singlet and triplet states in a purely logical or statistical sense, quantum entanglement would not seem necessary. However, when we take into account the actual “behavior of quantum systems inside living organisms,” the story changes. What happens inside the eye of the European robin is not just a simple chemical reaction, but rather a highly refined form of “quantum computing” shaped by nature over tens of millions of years.

コマドリは渡りに「量子もつれ」を使っているらしい

 【要旨】渡り鳥の一種、ヨーロッパコマドリは、量子もつれを利用して地磁気の向きを感知し、目的地を目指すと言われる。まだ、科学的に解明はされていないようだが、これを簡単な量子コンピューティングの例題とした。また、"なぜ量子もつれが必要なのか？"も考察した。

→簡略バージョンはこちら
→English version is here
→Linkedinにも投稿しました。（いくつかのQ&Aを含む）

🟢コマドリは「量子もつれ」を使って地磁気を感知する
　日本の科学雑誌Newton（2022-05）に、渡り鳥は量子を利用している可能性があるとの短い記事（実質１ページのみ）がありました。それによれば、「こまどり」は、青い光を受けると、網膜のタンパク質（クリプトクロム）に、「量子もつれ」状態の多数の電子のペアを作ります。そのペアには、スピンの向きが逆向きの[1]シングレットと、スピンの向きが揃っている[2]トリプレットの２種類があります。これら２つの存在割合から、地磁気に対する角度を感知できるとのことです。

　ここでは、この鳥は、ほぼ地磁気の向きに飛ぼうとしていると仮定します。下図の通り、もしも、全てが[1]シングレットであるならば、自分の向きと地磁気の向きが並行と感知するので、その方向へ飛ぶことになるでしょう。また、[1]シングレットと[2]トリプレットが同数ならば、地磁気に対して垂直だと感知するので、頭を振って別の方向を探すでしょう。

🟢自作の量子回路シミュレータで確認する
　上記の記事は短い概説でした。でも、ここでお話しだけに終わらせずに、自作の量子回路シミュレータを使って、この状況を再現することにしました。つまり、コマドリは、[1]シングレットが占める割合で地磁気の方向を判断するのですから、これを量子コンピューティング向けにモデル化し、シュミレーションを行いました。

　詳細は略しますが、下図の通り、例えば、[1]シングレットの割合が0.5となる場合は、角度90°ですから、これでは進めません。気を取り直して、首を振っていると、［1]シングレットの割合が0.93となる場合がありました。その時の角度は30°ですから、これならいいいだろう。そのまま、その方向へ飛んで行ける。

　これはまさに、量子コンピューティングの利用です！学び始めた人向けの練習問題として、とても良いのではないでしょうか！

　作成した量子回路では、２つの量子ビットをXゲートで反転させた後、Bell回路を通します。これで、シングレットを生成できます。引き続き、１番目の量子ビットに回転ゲートRY(θ)を与えるだけです。これによって、自分と地磁気との角度θに応じて、シングレットの割合を増減させることができます。

🟢IBMの量子コンピュータ実機でも確認
　ここまでは、自作シミュレータでやりましたが、IBMの量子コンピュータ実機でも、下図の通り、ほぼ同様の結果となることが確認できました。

🟢なぜ量子もつれが必要なのか？
　ここまでで一応閉じていますが、なぜ量子もつれを使うのか？　実際、上の回路でBell回路を取り除いても、シングレットとトリプレットの割合は変更できるように思われます。Good questionです！私の回答を以下に書きます。

（以下は、私自身の拙論です。また、もつれ状態は、テンソル積状態に比べて壊れやすいので、以下の叙述の通りになるとは言えないかも知れません。）

　簡単に言えば、「量子の世界の掟」に従うためだと思います。上記では説明しませんでしたが、最初の図の中の、シングレットとトリプレットに、それぞれ、"キャンセル"と"増幅"と記入しました。これが意味を持ちます。

　まず、初期状態として、多数の電子対をそれぞれ完璧に逆向きに揃えておくことは、周りからの影響を考えると非常に困難と思われます。一方、各電子対にもつれを生じさせておくと、「全スピンの合計がゼロ」という状況を安定して作れます。"キャンセル"と書いた意味がそこにあります。

　次に、地磁気は非常に微弱です。電子の対が、もつれ状態になっていると、わずかなエネルギーで、シングレットとトリプレットの間を遷移させやすくなります。例えば、トリプレットに移行する場合、個々の電子が別々に磁場を感じるのではなく、もつれたペアとしてそれを感じれば、その感度は増幅されるはずです。トリプレットの図に"増幅"と書いた意味はそこにあります。

　まとめますと、単に、論理的、統計的に、シングレットとトリプレットの割合を変化させるのであれば、量子もつれは特に必要ないと思います。しかし、上に述べた「生物の世界での量子の振る舞い」を踏まえると、本論に述べた通りにすることが必要です。ヨーロッパコマドリの目の中で起きていることは、単純な化学反応ではなく、何千万年にも渡り自然界が作り上げた、洗練された「量子コンピューティング」なのでしょう。

フェルミ研究所の物理学者らが書いた量子コンピューティング入門書

 　量子コンピューティングに関する入門書はかなり多くなってきた。日本語の本は少ないが、洋書はそうなっている。最近、下図の書籍を購入した。K-12（高校生）向けとされているが、大学生にも十分読み応えがあり、しっかりと基礎を築ける書籍である。もちろん、情報系などの大学教員にも間違いなく有用と感じたので、簡単に紹介したい。（他にも良書はあるので、これが最適というつもりはないが、稀有の書であろう。）

C. Hughes, J. Isaacson, A. Perry, R.F. Sun, J. Turner, 
Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer, 2021.

🟢ハードカバーのカラー版はAdmazonなどで購入できる。（¥7,300）

🟢無料の完全なpdf版も提供されている。上図左下隅の「Open Access」との表示がそれを意味している！ここからダウンロードできるが、AmazonからKindle版も無償で入手できる。

いくつか特徴を挙げる。

（１）量子力学の観点を重視
　著者は、Fermi National Accelerator Laboratory（米国フェルミ国立加速器研究所）の物理学者たちである。それだけに、量子コンピューティングを単なる情報科学の世界とせず、量子力学の観点を丁寧に説いている。しかも、それを高校数学を習得していれば分かる程度の数式で説明している。

（２）量子物理実験をシミュレーションで
　例えば、最も基本的な事項であるSuperposition（量子状態重ね合わせ）は、物理的にはどのように作られるのか。それを、Beam Splitterや、有名なStern-Gerlachの実験で見せている。それらの多くは、英国のSt. Andrews大学が提供している量子力学シュミレーションツールで確認できるようにしている。Entanglement（量子もつれ）等についても同様である。

https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/

（Univ. of St. Andrewsの量子力学可視化プロジェクトQuVisより引用）

　また、深い内容だが楽しく学べそうな、FermilabによるK12向けチュートリアルにも言及している。

https://quantumatlas.umd.edu/entry-list/

（フェルミ研究所のthe Quantum Atlasより引用）

（３）基本的な量子アルゴリズムをカバー
　量子力学の基本概念を理解した後、基本的な量子アルゴリズムに取り組む。Quantum Cryptography（量子暗号）、Quantum Teleportaton（量子テレポーテーション）、Deutsch-Jozsaアルゴリズム（均衡/定常関数判定）などである。ただし、K12向けなので、より高度な量子位相推定（QPE）や量子フーリエ変換（QFT）などは含まれない。したがって、これらを利用するショアの因数分解なども、この先のレベルの問題として残されている。

（４）理論→手計算→シミュレーション/実機実行→確認テスト
　このような順で理解を深める。手計算は特に重要である。その後のシミュレーションは上記（２）で述べた環境を利用する。だが、いくつかは、IBM Quantumコンピュータ実機も使う。Pythonなどのプログラミングは不要である。IBM Quantum Composerという、ビジュアルでインタラクティブな実行環境を使うからである。実機で動かすことは、シミュレーションではない、リアルな物理現象を再現することになるので、大いに意味がある。

（５）コンパクトで、練習問題が充実
　ブックカバー、全体のデザインも美しい。洋書としては珍しく薄い書籍（全150ページ）である。それがとても良い。ためらわずに手に取り、学ぼうとする人が多いだろう。中身は、上に述べた通り、コンパクトな英語で充実している。各章毎に、理解を確認し深めるための練習問題が多数用意されている。自習できるように、奇数番号の練習問題の略解は掲載されているが、偶数番号の練習問題の解答は載っていない。そのため、講義する教員側は、偶数番号の問題を宿題として出すことができる！

🟢私の感想

　フェルミ研究所の物理学者たちも、今後発展するだろう量子コンピューティングの重要性を見据えて、若い高校生に対して、今から学ぶ機会を与えようと努力しているように感じる。大学生でも全然遅くはない。日本の大学でも、基礎的な量子コンピューティング講座として本書を教科書にできるだろう。pdf版は無償という好条件もある。あるいはすでに、そうしているかも知れない。

🟢番外編 - 圏論

　ところで、本書の図の一つに、Fig.6.6がある。これは量子ゲートX, H, Zが量子状態をどのように変えるかを示したものである。これらの関係を眺めていると、数学の圏論を思い浮かべる人もいるだろう。あまり多くはないと思うが...。そして、最近、数学者加藤文元氏による圏論の解説本が出版され、非常に好評とのことである。

　念の為ですが、上図の黄色枠の圏論らしき図は、小生が生成AIに描かせた「こんな感じだろう」というものであり、加藤氏の書籍に載っているものではありません。

　すでに、Categorical Quantum Mechanics（圏論的量子力学）というのもあるらしい。奥は深い。世の中広い。

The Evolution of IBM Quantum Hardware

IBM Quantum has taken another big step forward. In addition to the familiar Eagle R3 processor, the company has now made its latest Heron R2 processor available to Open Plan (free-tier) users. I tested the following quantum circuit on Heron R2 (ibm_marrakesh), a circuit where quantum entanglement plays a key role.

　IBM Quantumは、これまでのEagle R3プロセッサに加えて、最新機Heron R2を、Open Plan（無償）ユーザに提供を開始した。私は、以下に示した量子回路（量子もつれが重要な役割を果たしている）をHeron R2で実行してみた。

The result was astonishing! As shown in the figure, the error rate dropped to less than one-third of what I observed ten months ago when running the same circuit on Eagle R3 (ibm_brisbane). Thanks to this improvement, the success rate jumped from 86% to an impressive 96%. For users to feel this level of hardware progress firsthand is incredibly meaningful. Thank you, IBM Quantum!

　驚くべき結果であった！下図に示す通り、10ヶ月前にEagle R3プロセッサで実行した場合よりも、エラー率が1/3以下に低減した！これにより、この量子回路での正答率は86%％から96%に大幅に向上した。ユーザが、ハードウェアのこのような進歩を実感できたことの意味は非常に大きい。ありがとう、IBM Quantum!

By the way, when you look at the processor logos for Eagle and Heron, most people probably feel that the Eagle looks stronger and more powerful. But in reality, Herons are remarkably resilient and graceful. That “grace” might very well symbolize the reduction in errors. IBM really nailed the naming on this one!

　ところで、プロセッサのロゴ、ワシ（Eagle）とサギ(Heron)を比較すると、ワシの方が強そうなイメージを持つ人が多いだろう。しかし、実はサギもしなやかで強いのである。「しなやかさ」は、エラー低減を意味するのかもしれない。IBMは良いネーミングをしたものですね！

Animation of Quantum Basis Probabilities and Phases in Time Evolution

This animation illustrates the time evolution of the probabilities and phases of quantum basis vectors in quantum computing. Although it may not have particular practical significance, observing how quantum states evolve can be quite enjoyable.

As an example, the upper part of Fig. 1 shows the Tiny Mermin–Peres circuit. Using the IBM Quantum Platform’s Composer, one can obtain detailed information as shown in the lower part of Fig. 1.

In contrast, my animation in Fig. 2 shows how the probabilities and phases of each basis vector change with the application of each quantum gate (H, Z, CZ, X, CX). It’s fun just to watch how the state transforms step by step.

In principle, creating such an animation requires defining the Hamiltonian corresponding to each quantum gate and evolving the system according to the Schrödinger equation. However, performing this process precisely is quite difficult. Therefore, a simplified method was used to produce an equivalent time evolution.

Fig.2 Animating probability and phase of basis vectors 

(Approximation by time evolution method)

As a result, the final quantum state of this circuit is confirmed to be identical in both Fig. 1 and Fig. 2. Among the 16 basis vectors, eight have a probability of 0.125 (1/8), while the remaining eight have a probability of zero. The phases of the two basis vectors |0100⟩ and |1110⟩ are π (or −π), and all other basis vectors have a phase of 0.

For your reference, we have also included a heat map showing the time progression of probability and phase.

🔴日本語訳

「基底の確率と位相の時間発展アニメーションを楽しむ」

　これは、量子コンピューティングにおける基底の確率と位相の時間発展アニメーションです。特段の有用性はないでしょうが、量子状態の変遷を見て楽しめるのは良いことだと考えます。例題として、Fig.1上段に示したTiny Mermin-Peres回路を用いました。例えば、IBM Quantum PlatformのComposerを使えば、FIg.1下段のような十分な情報が得られます。

　一方、私のアニメーションFig2.では、各量子ゲート（H, Z, CZ, X, CX）の適用ごとに、各基底ベクトルの確率と位相がどのように変化するかを見ることができます。ただ眺めているだけでも楽しい！

　このようなアニメーションを作るためには、本来は、各量子ゲートに対応するハミルトニアンを設定して、それをシュレディンガー方程式に則って時間発展させるべきですが、それを厳密に行うのはかなり難しいです。ですので、ある簡易的な方法を用いて、この時間発展と同等になるようにしました。

　結論として、この回路の最終量子状態は、Fig.1とFig.2で同じであることが確認できます。すなわち、16個の基底ベクトルのうち、８個の確率はいずれも0.125(1/8)であり、残り８個の確率はすべて０です。また、２つの基底 |0100>と|1110>の位相はπ（または-π）であり、その他の基底の位相はすべて0です。

　なお、ご参考までに、確率と位相の時間推移をヒートマップで示した図も載せておきました。

Quantum Computing and Quantum Mechanics for IT Engineers

IT技術者にとっての量子Computingと量子力学

　物理や化学ではなく、ソフトウェア開発やIT技術に生きている人たちも、今後、量子コンピューティングを無視することはできないかも知れない。では、量子力学は必要なのか？Absolutely Yes!でもあり、そうではなく、Little Yes?とも言えるという。

Even for those working in software development or IT—not in physics or chemistry—it may soon be impossible to ignore quantum computing.But does that mean we need to learn quantum mechanics? The answer is both Absolutely Yes! and, in a sense, Maybe just a little yes.

Conclusion:

Take the Hadamard transform, for example. If we let the time evolution operator U(t) above proceed up to t=π/Ω, the result becomes exactly the same as applying the Hadamard gate. In other words, we no longer need to go back to the Schrödinger equation to understand it. That’s great news for IT engineers!

Bell回路の時間発展アニメーション

Time Evolution of the Bell Circuit

🔴概 要
　前報（→こちら）では、１量子ビットに対するアダマール変換が、シュレディンガー方程式を利用した時間発展と等価であることを知った。今回は、２量子ビットで量子もつれを生じさせるBell回路を対象として、同様の考察を行った。多くの量子コンピューティングの書籍では、１番目の量子ビットにアダマール変換を施し、次に２つの量子ビットにCNOTを施すと、瞬時に量子もつれ状態になると説明されている。だが、そこへ至るまでの時間発展を観察することは、量子力学を少し深く知ることに繋がり、量子コンピューティングを学ぶ上で有用であろう。

In the previous post, we learned that the Hadamard transformation applied to a single qubit is equivalent to time evolution governed by the Schrödinger equation.In this study, I extended that idea to a two-qubit system — the Bell circuit, which generates quantum entanglement.

In many quantum computing textbooks, it is explained that if we apply a Hadamard gate to the first qubit and then a CNOT gate to the two qubits, the system instantly becomes an entangled Bell state. However, observing how the system evolves in time toward that entangled state provides deeper insight into quantum mechanics itself. Such an approach can be highly valuable for anyone learning quantum computing, as it connects the abstract circuit model with the underlying physical process of quantum evolution.

🔴Bell回路の時間発展の観察

　下図の下段には、Bell回路のシミュレーションのスナップショットが示されている。左側は、アダマール変換を施した結果を、右側にはその後CNOTを施した結果である。一方、上段のグラフは、Bell回路に対応するハミルトニアンを時間発展させた結果である。シミュレーションの前半と後半に分けて、４つの基底|00>, |10>, |01>, |11>それぞれの測定確率を描いている。

　詳細は略すが、前報同様に、アダマールゲートとCNOTゲートそれぞれに対応するハミルトニアンを時間発展させている。完了時間も、前報と同様に設定されるが、ここでは、前半と後半がそれぞれ換算時間が1.0となるようにしてある。経過時間1.0では、シミュレーションの結果と同じく、|00>と|01>がそれぞれ確率0.5で出現することがわかる。また、経過時間２.0では、量子もつれを意味する結果が得られている。すなわち、|00>と|11>の確率がそれぞれ0.5に置き換わっている。

　さらに、上記のことを見やすくするために、アニメーションも作成した。

　

　なお、3-qubitがGHZと呼ばれる量子もつれに至る状況も同様に描くことができた。つまり、|000>を初期状態として、適切なハミルトニアンの時間発展で (|000>+|111>)/√2の状態に至る過程は以下のようになる。