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🟢期待値を密度行列の固有値を用いて表す
量子状態\( | \psi \rangle\)におけるObservable Aの期待値\(\langle A \rangle \)と、この\( | \psi \rangle\)の密度行列\(\rho_\psi \)は以下の通りである。
状態が純粋状態か混合状態かの違いが、固有値に現れる。
【1】量子状態が純粋状態ならば、固有値１の状態だけがAの期待値に寄与する。
【2】量子状態が混合状態ならば、複数の固有値がAの期待値に寄与する。例えば、密度行列\( \rho = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| +\frac{1}{2}|1\rangle\langle 1| \)の場合は、２つの固有値\( \lambda_1=\lambda_2=\frac{1}{2}\)が期待値に寄与する。
🟢上記の２式④と⑤の導出
ここまで、途中計算を省略した部分があるので、それをここで補う。
【④の式 \(\langle A \rangle = \text{Tr}(\rho_\psi A) \)の導出】
【⑤の式 \( \langle A \rangle= \sum_{k} \lambda_k \langle \psi_k | A | \psi_k \rangle \)の導出】
🟢期待値を密度行列の固有値を用いて表す
量子状態\( | \psi \rangle\)におけるObservable Aの期待値\(\langle A \rangle \)と、この\( | \psi \rangle\)の密度行列\(\rho_\psi \)は以下の通りである。
\( \langle A \rangle = \langle \psi | A | \psi\rangle\) …….①
\( \rho_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|\) ………….②
密度行列はエルミート行列なので、次のように固有値分解できる。
\( \rho_\psi = \sum_{k} \lambda_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|\) ……….③
以上のことから、次の式が導かれる。詳細は後述する。
\(\langle A \rangle = \text{Tr}(\rho_\psi A) \) ……………….④
\(\langle A \rangle= \sum_{k} \lambda_k \langle \psi_k | A | \psi_k \rangle
\) ……….⑤
この結果から以下のことが言える。
「Aの期待値は、各固有状態\(| \psi_k \rangle \)での期待値\(\langle \psi_k | A | \psi_k \rangle \)を密度行列の固有値\( \lambda_k\)で重み付け平均したものである。」
状態が純粋状態か混合状態かの違いが、固有値に現れる。
【1】量子状態が純粋状態ならば、固有値１の状態だけがAの期待値に寄与する。
【2】量子状態が混合状態ならば、複数の固有値がAの期待値に寄与する。例えば、密度行列\( \rho = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| +\frac{1}{2}|1\rangle\langle 1| \)の場合は、２つの固有値\( \lambda_1=\lambda_2=\frac{1}{2}\)が期待値に寄与する。
🟢上記の２式④と⑤の導出
ここまで、途中計算を省略した部分があるので、それをここで補う。
【④の式 \(\langle A \rangle = \text{Tr}(\rho_\psi A) \)の導出】
記述を簡単にするため、添え字\( \psi\)は省略する。
\(\rho= |\psi\rangle\langle\psi| \), \( \langle A \rangle = \langle \psi | A | \psi\rangle\)であること、さらに、トレースの巡回性\(\text{Tr}(XYZ)=\text{Tr}(ZXY) \)により、
$$ \text{Tr}(\rho A) =\text{Tr}( |\psi\rangle\langle\psi|A)=\text{Tr}( \langle\psi|A|\psi\rangle)$$
ここで、\( \langle\psi|A|\psi\rangle\)はスカラ（1行1列の）である。そのトレースは自分自身なので、
\( \text{Tr}( \langle\psi|A|\psi\rangle)=\langle\psi|A|\psi\rangle=\langle A \rangle\)となり、④が成立する。
【⑤の式 \( \langle A \rangle= \sum_{k} \lambda_k \langle \psi_k | A | \psi_k \rangle \)の導出】
記述を簡単にするため、添え字\(\psi \)は省略する。①〜④を使うと、
$$ \langle A \rangle=\operatorname{Tr}(\rho A)
=
\operatorname{Tr}\left[
\left(
\sum_k \lambda_k |\psi_k\rangle \langle \psi_k|
\right)
A
\right]$$
\(= \operatorname{Tr}\left[\sum_k \lambda_k |\psi_k\rangle \langle \psi_k| A \right] \) (分配則）
\( = \sum_k \lambda_k \operatorname{Tr}\left( |\psi_k\rangle \langle \psi_k| A \right)\)（トレースの線形性）
\( = \sum_k \lambda_k \operatorname{Tr}\left( \langle \psi_k| A |\psi_k\rangle \right)\)（④と同様、トレースの巡回性）
\( = \sum_k \lambda_k \langle \psi_k| A |\psi_k\rangle \)（④と同様、スカラのトレースは自分自身）
\( = \sum_k \lambda_k \operatorname{Tr}\left( |\psi_k\rangle \langle \psi_k| A \right)\)（トレースの線形性）
\( = \sum_k \lambda_k \operatorname{Tr}\left( \langle \psi_k| A |\psi_k\rangle \right)\)（④と同様、トレースの巡回性）
\( = \sum_k \lambda_k \langle \psi_k| A |\psi_k\rangle \)（④と同様、スカラのトレースは自分自身）
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