コマドリは渡りに「量子もつれ」を使っているらしい（簡略版）

　本日は大晦日です。今年最後の記事は、前回のこちらの記事の縮小バージョンとしました。

　ある説によれば（科学的に十分な解明はなされていないが）、「こまどり」は、ある条件下で、「量子もつれ」という状態の量子（ここでは電子）のペアをたくさん作ります。２種類あります。一つは[1]singletと呼ばれる、スピンの向きが逆のペアであり、もう一つはスピンの向きが揃った状態の[2]tripletです。この２種の状態は、相互に行ったり来たり遷移します。

　驚くべきことに、コマドリは、全体に占める[1]singletの割合から、地磁気との角度θを認識しているとのことです！例えば、[1]と[2]が同じ比率ならば、地磁気と垂直な方向に向かっており、[1]の割合が増えると地磁気の向きに近づいいる、という具合です。

　この状況は、図の下段に示すように、量子回路でシミュレーションで再現できます。例えば、シータが30度ならば、[1]singletの割合は0.93となります。このことから、コマドリは、量子コンピューティングを利用していると言える（かも知れません）！？

Robins May Use “Quantum Entanglement” for Migration

Summary:
The European robin, a migratory bird, is said to sense the direction of Earth’s magnetic field by using quantum entanglement, helping it navigate toward its destination. Although the mechanism has not yet been fully explained scientifically, I used this idea as a simple example for quantum computing and explored the question, “Why is quantum entanglement necessary?”

→日本語版はこちら

🟢Robins may sense Earth’s magnetism using quantum entanglement

A short article in the Japanese science magazine Newton (May 2022) suggested that migratory birds might make use of quantum effects. According to the article, when a robin’s eye receives blue light, a protein in the retina called cryptochrome produces many pairs of electrons in a quantum-entangled state. These pairs come in two types:

[1] singlet, where the spins point in opposite directions, and
[2] triplet, where the spins are aligned.

It is said that by comparing the proportions of these two states, the bird can sense the angle of Earth’s magnetic field.

Here, we assume that the bird is trying to fly roughly in the direction of the Earth's magnetic field. As illustrated below, if all pairs are in the singlet state, the bird perceives itself as facing parallel to the magnetic field and flies in that direction. If singlet and triplet appear in equal amounts, it perceives itself as perpendicular to the field and will look for another direction.

🟢Checking the idea with my own quantum-circuit simulator

The article itself was only a brief overview. Rather than stopping there, I decided to reproduce the situation using my own quantum-circuit simulator. Since the robin is thought to judge direction from the proportion of singlet states, I modeled this behavior for quantum computing and ran simulations.

To summarize the results: when the singlet proportion was 0.5, the corresponding angle was 90°, so the bird could not proceed. After “trying again,” the bird found a case where the singlet proportion became 0.93. The corresponding angle was 30°, which seems suitable for flight — so the bird could continue in that direction.

This is exactly a practical use of quantum computing. As an exercise for beginners, it is a very good learning problem.

In the circuit I created, two qubits are first flipped with X gates, then passed through a Bell circuit to generate a singlet. After that, I simply apply a rotation gate RY(θ) to the first qubit. By changing θ, the proportion of singlet states increases or decreases, representing different angles between the bird and Earth’s magnetic field.

🟢Testing on IBM’s real quantum computer

Up to this point, everything was done in my simulator. However, when I ran the same circuit on IBM’s real quantum hardware, I obtained nearly the same results, as shown below.

🟢Why is quantum entanglement necessary?

The discussion so far is already complete in one sense — but why do we need quantum entanglement at all? In fact, if we remove the Bell circuit from the circuit above, it still seems possible to change the proportion of singlet and triplet states. That is a very good question, and my answer is as follows.

However, because entangled states are more fragile than tensor-product (separable) states, it may not necessarily turn out exactly as described below.

In short, I believe entanglement is required in order to follow “the rules of the quantum world.” Although I did not explain it earlier, in the first diagram I wrote the words “cancellation” near the singlet and “amplification” near the triplet. These words actually matter.

First, it would be extremely difficult, considering environmental disturbances, to prepare many pairs of electrons whose spins are perfectly anti-aligned from the beginning. On the other hand, if the electron pairs are entangled, it becomes possible to maintain a stable situation in which “the total spin is zero.” This is what I meant by “cancellation.”

Next, Earth’s magnetic field is very weak. When electron pairs are in an entangled state, it becomes easier for them to transition between singlet and triplet with only a very small amount of energy. For example, when moving to the triplet state, the electrons do not respond to the magnetic field one by one. Instead, they respond as an entangled pair, so their sensitivity can be amplified. That is the meaning of the term “amplification” in the triplet diagram.

In summary, if we were only changing the proportions of singlet and triplet states in a purely logical or statistical sense, quantum entanglement would not seem necessary. However, when we take into account the actual “behavior of quantum systems inside living organisms,” the story changes. What happens inside the eye of the European robin is not just a simple chemical reaction, but rather a highly refined form of “quantum computing” shaped by nature over tens of millions of years.

コマドリは渡りに「量子もつれ」を使っているらしい

 【要旨】渡り鳥の一種、ヨーロッパコマドリは、量子もつれを利用して地磁気の向きを感知し、目的地を目指すと言われる。まだ、科学的に解明はされていないようだが、これを簡単な量子コンピューティングの例題とした。また、"なぜ量子もつれが必要なのか？"も考察した。

→簡略バージョンはこちら
→English version is here
→Linkedinにも投稿しました。（いくつかのQ&Aを含む）

🟢コマドリは「量子もつれ」を使って地磁気を感知する
　日本の科学雑誌Newton（2022-05）に、渡り鳥は量子を利用している可能性があるとの短い記事（実質１ページのみ）がありました。それによれば、「こまどり」は、青い光を受けると、網膜のタンパク質（クリプトクロム）に、「量子もつれ」状態の多数の電子のペアを作ります。そのペアには、スピンの向きが逆向きの[1]シングレットと、スピンの向きが揃っている[2]トリプレットの２種類があります。これら２つの存在割合から、地磁気に対する角度を感知できるとのことです。

　ここでは、この鳥は、ほぼ地磁気の向きに飛ぼうとしていると仮定します。下図の通り、もしも、全てが[1]シングレットであるならば、自分の向きと地磁気の向きが並行と感知するので、その方向へ飛ぶことになるでしょう。また、[1]シングレットと[2]トリプレットが同数ならば、地磁気に対して垂直だと感知するので、頭を振って別の方向を探すでしょう。

🟢自作の量子回路シミュレータで確認する
　上記の記事は短い概説でした。でも、ここでお話しだけに終わらせずに、自作の量子回路シミュレータを使って、この状況を再現することにしました。つまり、コマドリは、[1]シングレットが占める割合で地磁気の方向を判断するのですから、これを量子コンピューティング向けにモデル化し、シュミレーションを行いました。

　詳細は略しますが、下図の通り、例えば、[1]シングレットの割合が0.5となる場合は、角度90°ですから、これでは進めません。気を取り直して、首を振っていると、［1]シングレットの割合が0.93となる場合がありました。その時の角度は30°ですから、これならいいいだろう。そのまま、その方向へ飛んで行ける。

　これはまさに、量子コンピューティングの利用です！学び始めた人向けの練習問題として、とても良いのではないでしょうか！

　作成した量子回路では、２つの量子ビットをXゲートで反転させた後、Bell回路を通します。これで、シングレットを生成できます。引き続き、１番目の量子ビットに回転ゲートRY(θ)を与えるだけです。これによって、自分と地磁気との角度θに応じて、シングレットの割合を増減させることができます。

🟢IBMの量子コンピュータ実機でも確認
　ここまでは、自作シミュレータでやりましたが、IBMの量子コンピュータ実機でも、下図の通り、ほぼ同様の結果となることが確認できました。

🟢なぜ量子もつれが必要なのか？
　ここまでで一応閉じていますが、なぜ量子もつれを使うのか？　実際、上の回路でBell回路を取り除いても、シングレットとトリプレットの割合は変更できるように思われます。Good questionです！私の回答を以下に書きます。

（以下は、私自身の拙論です。また、もつれ状態は、テンソル積状態に比べて壊れやすいので、以下の叙述の通りになるとは言えないかも知れません。）

　簡単に言えば、「量子の世界の掟」に従うためだと思います。上記では説明しませんでしたが、最初の図の中の、シングレットとトリプレットに、それぞれ、"キャンセル"と"増幅"と記入しました。これが意味を持ちます。

　まず、初期状態として、多数の電子対をそれぞれ完璧に逆向きに揃えておくことは、周りからの影響を考えると非常に困難と思われます。一方、各電子対にもつれを生じさせておくと、「全スピンの合計がゼロ」という状況を安定して作れます。"キャンセル"と書いた意味がそこにあります。

　次に、地磁気は非常に微弱です。電子の対が、もつれ状態になっていると、わずかなエネルギーで、シングレットとトリプレットの間を遷移させやすくなります。例えば、トリプレットに移行する場合、個々の電子が別々に磁場を感じるのではなく、もつれたペアとしてそれを感じれば、その感度は増幅されるはずです。トリプレットの図に"増幅"と書いた意味はそこにあります。

　まとめますと、単に、論理的、統計的に、シングレットとトリプレットの割合を変化させるのであれば、量子もつれは特に必要ないと思います。しかし、上に述べた「生物の世界での量子の振る舞い」を踏まえると、本論に述べた通りにすることが必要です。ヨーロッパコマドリの目の中で起きていることは、単純な化学反応ではなく、何千万年にも渡り自然界が作り上げた、洗練された「量子コンピューティング」なのでしょう。

フェルミ研究所の物理学者らが書いた量子コンピューティング入門書

 　量子コンピューティングに関する入門書はかなり多くなってきた。日本語の本は少ないが、洋書はそうなっている。最近、下図の書籍を購入した。K-12（高校生）向けとされているが、大学生にも十分読み応えがあり、しっかりと基礎を築ける書籍である。もちろん、情報系などの大学教員にも間違いなく有用と感じたので、簡単に紹介したい。（他にも良書はあるので、これが最適というつもりはないが、稀有の書であろう。）

C. Hughes, J. Isaacson, A. Perry, R.F. Sun, J. Turner, 
Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer, 2021.

🟢ハードカバーのカラー版はAdmazonなどで購入できる。（¥7,300）

🟢無料の完全なpdf版も提供されている。上図左下隅の「Open Access」との表示がそれを意味している！ここからダウンロードできるが、AmazonからKindle版も無償で入手できる。

いくつか特徴を挙げる。

（１）量子力学の観点を重視
　著者は、Fermi National Accelerator Laboratory（米国フェルミ国立加速器研究所）の物理学者たちである。それだけに、量子コンピューティングを単なる情報科学の世界とせず、量子力学の観点を丁寧に説いている。しかも、それを高校数学を習得していれば分かる程度の数式で説明している。

（２）量子物理実験をシミュレーションで
　例えば、最も基本的な事項であるSuperposition（量子状態重ね合わせ）は、物理的にはどのように作られるのか。それを、Beam Splitterや、有名なStern-Gerlachの実験で見せている。それらの多くは、英国のSt. Andrews大学が提供している量子力学シュミレーションツールで確認できるようにしている。Entanglement（量子もつれ）等についても同様である。

https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/

（Univ. of St. Andrewsの量子力学可視化プロジェクトQuVisより引用）

　また、深い内容だが楽しく学べそうな、FermilabによるK12向けチュートリアルにも言及している。

https://quantumatlas.umd.edu/entry-list/

（フェルミ研究所のthe Quantum Atlasより引用）

（３）基本的な量子アルゴリズムをカバー
　量子力学の基本概念を理解した後、基本的な量子アルゴリズムに取り組む。Quantum Cryptography（量子暗号）、Quantum Teleportaton（量子テレポーテーション）、Deutsch-Jozsaアルゴリズム（均衡/定常関数判定）などである。ただし、K12向けなので、より高度な量子位相推定（QPE）や量子フーリエ変換（QFT）などは含まれない。したがって、これらを利用するショアの因数分解なども、この先のレベルの問題として残されている。

（４）理論→手計算→シミュレーション/実機実行→確認テスト
　このような順で理解を深める。手計算は特に重要である。その後のシミュレーションは上記（２）で述べた環境を利用する。だが、いくつかは、IBM Quantumコンピュータ実機も使う。Pythonなどのプログラミングは不要である。IBM Quantum Composerという、ビジュアルでインタラクティブな実行環境を使うからである。実機で動かすことは、シミュレーションではない、リアルな物理現象を再現することになるので、大いに意味がある。

（５）コンパクトで、練習問題が充実
　ブックカバー、全体のデザインも美しい。洋書としては珍しく薄い書籍（全150ページ）である。それがとても良い。ためらわずに手に取り、学ぼうとする人が多いだろう。中身は、上に述べた通り、コンパクトな英語で充実している。各章毎に、理解を確認し深めるための練習問題が多数用意されている。自習できるように、奇数番号の練習問題の略解は掲載されているが、偶数番号の練習問題の解答は載っていない。そのため、講義する教員側は、偶数番号の問題を宿題として出すことができる！

🟢私の感想

　フェルミ研究所の物理学者たちも、今後発展するだろう量子コンピューティングの重要性を見据えて、若い高校生に対して、今から学ぶ機会を与えようと努力しているように感じる。大学生でも全然遅くはない。日本の大学でも、基礎的な量子コンピューティング講座として本書を教科書にできるだろう。pdf版は無償という好条件もある。あるいはすでに、そうしているかも知れない。

🟢番外編 - 圏論

　ところで、本書の図の一つに、Fig.6.6がある。これは量子ゲートX, H, Zが量子状態をどのように変えるかを示したものである。これらの関係を眺めていると、数学の圏論を思い浮かべる人もいるだろう。あまり多くはないと思うが...。そして、最近、数学者加藤文元氏による圏論の解説本が出版され、非常に好評とのことである。

　念の為ですが、上図の黄色枠の圏論らしき図は、小生が生成AIに描かせた「こんな感じだろう」というものであり、加藤氏の書籍に載っているものではありません。

　すでに、Categorical Quantum Mechanics（圏論的量子力学）というのもあるらしい。奥は深い。世の中広い。

The Evolution of IBM Quantum Hardware

IBM Quantum has taken another big step forward. In addition to the familiar Eagle R3 processor, the company has now made its latest Heron R2 processor available to Open Plan (free-tier) users. I tested the following quantum circuit on Heron R2 (ibm_marrakesh), a circuit where quantum entanglement plays a key role.

　IBM Quantumは、これまでのEagle R3プロセッサに加えて、最新機Heron R2を、Open Plan（無償）ユーザに提供を開始した。私は、以下に示した量子回路（量子もつれが重要な役割を果たしている）をHeron R2で実行してみた。

The result was astonishing! As shown in the figure, the error rate dropped to less than one-third of what I observed ten months ago when running the same circuit on Eagle R3 (ibm_brisbane). Thanks to this improvement, the success rate jumped from 86% to an impressive 96%. For users to feel this level of hardware progress firsthand is incredibly meaningful. Thank you, IBM Quantum!

　驚くべき結果であった！下図に示す通り、10ヶ月前にEagle R3プロセッサで実行した場合よりも、エラー率が1/3以下に低減した！これにより、この量子回路での正答率は86%％から96%に大幅に向上した。ユーザが、ハードウェアのこのような進歩を実感できたことの意味は非常に大きい。ありがとう、IBM Quantum!

By the way, when you look at the processor logos for Eagle and Heron, most people probably feel that the Eagle looks stronger and more powerful. But in reality, Herons are remarkably resilient and graceful. That “grace” might very well symbolize the reduction in errors. IBM really nailed the naming on this one!

　ところで、プロセッサのロゴ、ワシ（Eagle）とサギ(Heron)を比較すると、ワシの方が強そうなイメージを持つ人が多いだろう。しかし、実はサギもしなやかで強いのである。「しなやかさ」は、エラー低減を意味するのかもしれない。IBMは良いネーミングをしたものですね！

Animation of Quantum Basis Probabilities and Phases in Time Evolution

This animation illustrates the time evolution of the probabilities and phases of quantum basis vectors in quantum computing. Although it may not have particular practical significance, observing how quantum states evolve can be quite enjoyable.

As an example, the upper part of Fig. 1 shows the Tiny Mermin–Peres circuit. Using the IBM Quantum Platform’s Composer, one can obtain detailed information as shown in the lower part of Fig. 1.

In contrast, my animation in Fig. 2 shows how the probabilities and phases of each basis vector change with the application of each quantum gate (H, Z, CZ, X, CX). It’s fun just to watch how the state transforms step by step.

In principle, creating such an animation requires defining the Hamiltonian corresponding to each quantum gate and evolving the system according to the Schrödinger equation. However, performing this process precisely is quite difficult. Therefore, a simplified method was used to produce an equivalent time evolution.

Fig.2 Animating probability and phase of basis vectors 

(Approximation by time evolution method)

As a result, the final quantum state of this circuit is confirmed to be identical in both Fig. 1 and Fig. 2. Among the 16 basis vectors, eight have a probability of 0.125 (1/8), while the remaining eight have a probability of zero. The phases of the two basis vectors |0100⟩ and |1110⟩ are π (or −π), and all other basis vectors have a phase of 0.

For your reference, we have also included a heat map showing the time progression of probability and phase.

🔴日本語訳

「基底の確率と位相の時間発展アニメーションを楽しむ」

　これは、量子コンピューティングにおける基底の確率と位相の時間発展アニメーションです。特段の有用性はないでしょうが、量子状態の変遷を見て楽しめるのは良いことだと考えます。例題として、Fig.1上段に示したTiny Mermin-Peres回路を用いました。例えば、IBM Quantum PlatformのComposerを使えば、FIg.1下段のような十分な情報が得られます。

　一方、私のアニメーションFig2.では、各量子ゲート（H, Z, CZ, X, CX）の適用ごとに、各基底ベクトルの確率と位相がどのように変化するかを見ることができます。ただ眺めているだけでも楽しい！

　このようなアニメーションを作るためには、本来は、各量子ゲートに対応するハミルトニアンを設定して、それをシュレディンガー方程式に則って時間発展させるべきですが、それを厳密に行うのはかなり難しいです。ですので、ある簡易的な方法を用いて、この時間発展と同等になるようにしました。

　結論として、この回路の最終量子状態は、Fig.1とFig.2で同じであることが確認できます。すなわち、16個の基底ベクトルのうち、８個の確率はいずれも0.125(1/8)であり、残り８個の確率はすべて０です。また、２つの基底 |0100>と|1110>の位相はπ（または-π）であり、その他の基底の位相はすべて0です。

　なお、ご参考までに、確率と位相の時間推移をヒートマップで示した図も載せておきました。

Quantum Computing and Quantum Mechanics for IT Engineers

IT技術者にとっての量子Computingと量子力学

　物理や化学ではなく、ソフトウェア開発やIT技術に生きている人たちも、今後、量子コンピューティングを無視することはできないかも知れない。では、量子力学は必要なのか？Absolutely Yes!でもあり、そうではなく、Little Yes?とも言えるという。

Even for those working in software development or IT—not in physics or chemistry—it may soon be impossible to ignore quantum computing.But does that mean we need to learn quantum mechanics? The answer is both Absolutely Yes! and, in a sense, Maybe just a little yes.

Conclusion:

Take the Hadamard transform, for example. If we let the time evolution operator U(t) above proceed up to t=π/Ω, the result becomes exactly the same as applying the Hadamard gate. In other words, we no longer need to go back to the Schrödinger equation to understand it. That’s great news for IT engineers!

Bell回路の時間発展アニメーション

Time Evolution of the Bell Circuit

🔴概 要
　前報（→こちら）では、１量子ビットに対するアダマール変換が、シュレディンガー方程式を利用した時間発展と等価であることを知った。今回は、２量子ビットで量子もつれを生じさせるBell回路を対象として、同様の考察を行った。多くの量子コンピューティングの書籍では、１番目の量子ビットにアダマール変換を施し、次に２つの量子ビットにCNOTを施すと、瞬時に量子もつれ状態になると説明されている。だが、そこへ至るまでの時間発展を観察することは、量子力学を少し深く知ることに繋がり、量子コンピューティングを学ぶ上で有用であろう。

In the previous post, we learned that the Hadamard transformation applied to a single qubit is equivalent to time evolution governed by the Schrödinger equation.In this study, I extended that idea to a two-qubit system — the Bell circuit, which generates quantum entanglement.

In many quantum computing textbooks, it is explained that if we apply a Hadamard gate to the first qubit and then a CNOT gate to the two qubits, the system instantly becomes an entangled Bell state. However, observing how the system evolves in time toward that entangled state provides deeper insight into quantum mechanics itself. Such an approach can be highly valuable for anyone learning quantum computing, as it connects the abstract circuit model with the underlying physical process of quantum evolution.

🔴Bell回路の時間発展の観察

　下図の下段には、Bell回路のシミュレーションのスナップショットが示されている。左側は、アダマール変換を施した結果を、右側にはその後CNOTを施した結果である。一方、上段のグラフは、Bell回路に対応するハミルトニアンを時間発展させた結果である。シミュレーションの前半と後半に分けて、４つの基底|00>, |10>, |01>, |11>それぞれの測定確率を描いている。

　詳細は略すが、前報同様に、アダマールゲートとCNOTゲートそれぞれに対応するハミルトニアンを時間発展させている。完了時間も、前報と同様に設定されるが、ここでは、前半と後半がそれぞれ換算時間が1.0となるようにしてある。経過時間1.0では、シミュレーションの結果と同じく、|00>と|01>がそれぞれ確率0.5で出現することがわかる。また、経過時間２.0では、量子もつれを意味する結果が得られている。すなわち、|00>と|11>の確率がそれぞれ0.5に置き換わっている。

　さらに、上記のことを見やすくするために、アニメーションも作成した。

　

　なお、3-qubitがGHZと呼ばれる量子もつれに至る状況も同様に描くことができた。つまり、|000>を初期状態として、適切なハミルトニアンの時間発展で (|000>+|111>)/√2の状態に至る過程は以下のようになる。

アダマール変換のアニメーション

---------（その後、Bell回路についても同様の考察をここに書きました。）--------

🔴目 的

　量子ゲートは、一部の例外を除き、ユニタリ演算（行列演算）である。量子コンピュータでは、それはどのように実現されるのだろうか。詳細レベルでそれを示すことはできないが、シュレディンガー方程式 (Schrödinger Equation)を利用すれば、その動作の流れが分かる。ここでは、最も重要な量子ゲートの一つであるアダマール(Hadamard)ゲートを例として、その動作をアニメーションで確かめてみよう。

🔴アダマールゲート

　アダマールゲートHの適用効果は、量子シミュレータや実機で見ることができる。例えば、量子の初期状態が北極の状態 |0> であるとする。それに対するアダマールゲートの適用とは、Fig.1に示した行列Hを初期状態ベクトルに掛けることである。その結果 H|0> は、ブロッホ球の赤道とX軸の正方向の交点で表される、|0>と|1>の均等な重ね合わせ状態となる。その操作は一瞬の出来事のように見える。だが、そこへ至る経過を観察してみよう。

🔴ハミルトニアンの時間発展

　実は、時間依存シュレディンガー方程式に基づいて、以下のことが広く知られている。

「量子ゲートの機能は、量子状態をある規則に従って一定時間だけ変化させることで実現される。」

　この「状態の変化の規則」を決めるのがハミルトニアンHamiltonianである。量子ゲートの世界では、量子状態の変化は、量子をある回転軸で回転させることで生ずる。その回転軸と回転の強さ（回転速度）の情報をハミルトニアンに持たせている。そして、一定時間Tは、T= π/Ωという値で決まる。このΩは、システムの駆動強度に対応する角周波数（ラジアン毎秒）である。従って、Ωの値が非常に大きければ、量子ゲートの動作は一瞬にして終わることになる。それでは、次に、この時間Tに至るまでの動作アニメーションを見てみよう。

🔴ハミルトニアンの時間発展に伴う量子状態変化のアニメーション

　上記の時間Tまでの量子状態の変化を示そう。Fig.2は初期状態 |0> の場合であり、Fig.3は |+> の場合である。例えば、<σ_x>は、刻々変動する量子状態におけるパウリ演算子σ_xの期待値（測定される固有値の平均）を意味するが、実際には、ブロッホ球上のx座標値と考えて良い。<σ_y>, <σ_z>についても同様である。

　Hamiltonian(注1)の式の右辺にある(σ_x + σ_z)/√2は、パウリ演算子だが実はベクトルとみなすことができ（(注1), (注2)）、回転軸の方向を指している。Fig.2では、x座標は0→1へ、z座標は1→0へ変動している。σ_yはハミルトニアンの式には現れないが、y座標も変動している。

Fig.2 Changes in x, y, and z coordinates when applying the Hadamard gate to the initial state |0>

Fig.3 Changes in x, y, and z coordinates when applying the Hadamard gate to the initial state |+>

　Fig.4は、Fig.2とFig.3の結果をブロッホ球上に表示したものである。これにより、アダマールゲートとは、x軸とz軸の中間45度の傾き方向を軸として、反時計回りにπ（180度）だけ回転させる機能であることが確認できた。繰り返しになるが、それは、時間発展をT=π/Ω進めた時点での状態となる。なお、回転軸を示す、大文字のX, Yはそれぞれパウリ演算子σ_xとσ_zに対応する。

Fig. 4 Display of Fig. 2 and Fig. 3 on the Bloch sphere

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（注1）少し紛らわしいが、ここでは、アダマールゲートをHとし、ハミルトニアンはHの上にハット記号を載せている。

（注2）期待値 <σ_x> = <ψ|σ_x|ψ>は、ブロッホ球上での量子状態 |ψ> のx軸方向の成分を表す。

（注3）パウリ演算子σ_x（行列）は、ブロッホ球のx軸方向の単位ベクトルでもある。これは少し紛らわしいが、量子力学では常用されていることである。

（注4）ここでは、換算プランク定数を1とする、自然単位系をつかうとする。

（注5) Fig.1は、MIT App Inventorで作られた量子回路シミュレータである。また、Fig.2〜Fig.4のアニメーションはChatGPTを利用して作成した。

量子コンピューティングExpo2025に参加

🟢概況
　量子コンピューティングExpo2025（2025年10月8日〜幕張メッセ）に参加したので、断片的だが、小生のなかに残った事柄を記録したい。例年通り、「AI・人工知能Expo」と同時開催であり、【特設エリア】生成AI Hub, Aiエージェントworldへの出展数と参加者が圧倒的に多い。だが、小生はそれにもかからわず、量子コンピューティングの見聞に徹した。IBMやGoogleという巨大量子コンピュータ企業の出展はないが、富士通や、ベンチャー、従来のIT企業の取り組みなどが見られた。出遅れないようにしたいとの気概も感じられた。

🟢量子コンピュータ（モックアップ）の展示
　今年7月末に大阪で開催されたQuantum Innovation 2025は、専門家向けだったのに比べて、今回のExpoはIT技術者や一般向けである。会場でまず目に入ったのが、産総研の「今後の1000量子ビットコンピュータのモックアップ」である。「撮影OK！」と表示されているので、多くの人が記念撮影していた。従来のコンピュータとは造りがまるで違うなあ、という印象を与えるのに十分である！

🟢会場フリーセミナー（予約不要）に人気
　展示のすぐ傍で随時行われたフリーセミナは予想外に人気があった。初日は、図の通り５件の発表があり、いずれも関心が高かったようである。

　このうち、（株）Quemixという会社の「量子コンピュータの使い所とユースケース」は、とても良かった。材料計算、機械学習などに、従来のスーパーコンと量子コンピュータを連携して取り組む説明だが、これはすでに小生のブログ記事に書いたアルゴリズム（古典・量子ハイブリッド）VQA（Variational Quantum Algorithm）そのものではないのか！だから、素直に頭に入ってきた。さらに、その場合、古典データから量子状態への変換、および量子状態測定結果の取り出しの効率化が課題であるとの説明にも大いに納得できた。

🟢量子機械学習への取り組みの展示
　従来のIT企業、ソフトウェア会社でも、遅れを取らないようにと、機械学習への量子コンピューティングの適用を試みる展示もあった。たとえば、量子SVM（Quantum Support Vector Machine）を展示している会社があった。小生は、これに関してはこのブログ記事にも書いているので、自然にバンバン質問することができた。話しが深まり、「これ以上の説明には社長を呼んできます」というところまで行った。現状では、量子状態シミュレータで検討しており、量子コンピュータ実機では確認できていないとのことであり、これも大いに納得。量子コンピュータ実機でのFeature MappingとQuantum Kernelの計算にはまだまだ課題があるはずだ。

🟢藤井啓祐教授とQuEra北川拓也氏の対談
　これは、予約制のセミナーである。実際の内容は、量子コンピューティング界では誰もが知るお二人の対談（45分）だった。朝10:00開始なのに、およそ400席くらいの会場は満席だった。Webではなく、目の前でリアルに聞くと何かが違う！以下、全く断片的だが、思い出した項目を列挙する。（不正確な点があればご容赦ください。）    

• 2014年に、量子コンピュータが誕生した。それ以降、超伝導方式が引っ張ってきた。現在は、それを含めて５つの方式が進行中。
• 現在の「実験科学」は、「計算科学」へ移行する。量子コンピュータ自体が物理実験装置になる。特に化学計算分野。新しい触媒の発見や電池開発に注目。
• AIが勝手に計算する時代になってくる。
• 日本は、米国に次いで、ユースケースの発表が多い。また、NEDOでは懸賞付きCHallenge（コンテスト）も開催している。
• 科学、ビジネスもいいが、これまでにないようなゲームも期待できる。パソコンの黎明期もゲームが引っ張ってきたと言える。それと同じかも。ユーザコミュニティQPARCも作られている。
• Youtubeの量子コンピューティング解説が従実している。ぜひ、活用すべき。以前は、技術的に疑問符がつくもの多かったが、最近の例えば、ショアの因数分解などで、素晴らしい物がある。そのまま大学の講義になるほどである。
• IT企業にも、物理系出身の人が意外といるものだ。そういう人を中心に、量子コンピューティング勉強会をやってはどうか。
• 実際に動く量子コンピュータは100年経ってもできないと言われていたが、１０年ですでにここまできている。ここ数年は、100〜200量子ビット構成で止まっているように見える。1000量子ビット機も発表されているが、稼働状況は不明な点が多い。
• それは誤り訂正技術の進展を待っているためとも思える。
• 現状では0.1〜1%程度の誤りが発生する。それを緩和する訂正技術も進んでいる。その技術の基本はパリティチェック（多数決で判断）に根ざしているように見える。
• 30件を超える質問がwebで寄せられており、参考になった：「量子コンピュータの誤作動は、宇宙にコンピュータを置いたら？間違える理由の解消として摩擦、熱、重力とか解決できたりしないの？」、「文系の人でも量子コンピュータについて学ぶには、どのような所から勉強すればよいでしょうか？」、「IBMが野心的なロードマップを出していますが、どのように見られていますか？」、「NISQの範囲で世の中のビジネスにインパクトを与えるものってどんなものがあるのでしょうか？具体的なイメージがわかず、、、」等々。

🟢冷却原子方式（中性原子方式）
　量子コンピュータハードウェアとして、IBMやGoogleは、長らく超伝導方式で実績を重ねてきたが、近年冷却原子方式も台頭している。上記のQuEra（北川拓也氏）は、すでにこの方式の実機を完成させ、研究用に産総研に納めたことで有名である。会場で、この方式に関する説明小冊子が配布されていた。現状と可能性を知るのに有用だ。

----　会場を歩き回ると疲れてくる　-------

Night view near the conference venue (the night after Typhoon 22 passed)

Schrödinger Equation and Quantum Computing

Questions About Quantum Computing

As you progress in your study of quantum computing, the following questions will likely arise. This article explores these points in more detail.

1. In most books and resources on quantum computing, the Schrödinger equation—which forms the foundation of quantum mechanics—rarely appears explicitly. Why is that?

2. In quantum circuits used to implement quantum algorithms, the order in which quantum gates are applied is crucial. But is it really acceptable to ignore the execution time of each quantum gate?

   

   ---> For more information, please see this pdf file.

   
   

Schrödinger方程式と量子Computing

🔴量子コンピューティングに関する疑問

　量子コンピューティングをある程度進めて行くと、以下の疑問が湧くであろう。本稿ではこれを検討する。

1. 量子コンピューティングの書籍等では、量子力学の基礎を与えるSchrödinger方程式がほとんど表に出てこない。それは何故か？
2. 量子アルゴリズムを実装する量子回路において、量子ゲートの適用順序は重要だが、各量子ゲートの実行時間は考慮しなくて良いのか？

→→→ 続きはこちらのpdfファイルをご覧ください。

Do You Really Need Quantum Mechanics to Learn Quantum Computing?

Quantum computing is gaining global attention—not just among physicists, but also among computer scientists, engineers, and even high school students curious about the future of technology. As more people enter the field, one common question arises:

“Do I really need to know quantum mechanics to study quantum computing?”

This is not just a theoretical debate. It matters for educators designing curricula, for students choosing courses, and for professionals wondering whether they can contribute without a physics background. Let me share my own journey and reflections on this important question.

A Question from a Symposium

About six months ago, I gave a short talk on my quantum computing work at a small symposium. During the Q&A, one professor asked me exactly this question. At the time, I answered:

“Quantum computing leans more toward information science, so quantum mechanics isn’t absolutely necessary—but sometimes it becomes important.”

That wasn’t entirely wrong. But after thinking it over, I’ve come to a clearer conclusion.

Quantum Mechanics Is Essential

It’s actually more accurate to say: yes, quantum mechanics is essential.

That doesn’t mean computer science students, for example, must take a full course in quantum mechanics before diving in. Most introductory textbooks on quantum computing already begin with the very basics of quantum mechanics—like the behavior of qubits—because without that foundation, you can’t even start the discussion. In that sense, it’s possible to step into quantum computing directly through these resources.

When a Deeper Foundation Becomes Necessary

As your study progresses, though—especially when working on applications in physics, chemistry (energy-related problems in particular), or optimization—you’ll need at least an undergraduate-level understanding of quantum mechanics.

In my case, I’ve spent most of my career in information technology, but in recent years I’ve been exploring quantum computing as an “amateur researcher.” Feeling the need to revisit the fundamentals, I found a book that turned out to be ideal:

Leonard Susskind & Art Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Penguin Books, 2014 (364 pages).
(A free PDF version is available online.)

Learning from Prof. Susskind

Prof. Leonard Susskind is a world-renowned physicist, and his coauthor Art Friedman is a former student. The book grew out of a ten-lecture series given at Stanford University for Silicon Valley engineers. That origin gives the text both rigor and clarity.

It’s not a breezy read, though. Even though the theory is pared down to the “minimum,” you still need to carefully work through the calculations. It took me about two months to complete a first pass, and I still revisit key sections. But the reward was immense: I rediscovered insights rarely emphasized in standard quantum computing texts, such as:

• Observables (physical quantities) are represented by linear operators.

• The time derivative of an expectation value is related to another physical quantity.

These concepts may sound abstract, but they capture the very essence of quantum mechanics.

My Study Approach

🟢 To keep myself motivated, I decorated the book’s cover with bright designs and added sticky notes for each chapter, giving me a quick visual map of its structure. For me, study works best when it feels both serious and fun.

🟢 I also found the YouTube lecture series that corresponds to Chapters 1–10 invaluable. Each session is about two hours long, recorded in an actual Stanford classroom. Watching students ask sharp questions—and hearing Prof. Susskind pause, think, and respond with care—made the material feel alive and approachable.

https://www.youtube.com/playlist?list=PL701CD168D02FF56F

Final Thoughts

So, is quantum mechanics necessary for learning quantum computing?
Yes—without question.

You don’t need to master quantum mechanics before you start, since most textbooks will guide you through the basics. But if you aim to go further—to tackle real applications, explore research, or simply gain a deeper understanding—you will eventually need the solid grounding that only quantum mechanics can provide.

Fortunately, resources like Susskind’s The Theoretical Minimum make that journey both possible and rewarding. And with the global surge in interest, now is the perfect time to embrace both the physics and the computing sides of this exciting field.

量子コンピューティングの習得に量子力学は必須か

<こちらには、この記事の英語版があります。多少、ニュアンスを変えて翻訳しました>

＜その後、これに関連して、下記の記事も書きましたのでご覧ください。＞
→ Schrödinger方程式と量子Computing

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　半年ほど前の小さなシンポジウムで、小生は、量子コンピューティングの取り組みに関する短い講演を行った。ある先生から、「量子コンピューティングを学ぶにあたって、量子力学は必要なのでしょうか？」という質問があった。「量子コンピューティングは情報科学寄りの側面が強いので、絶対必要というわけではないが、時として必要になると思う」という回答をした記憶がある。特段、誤りとは言えないが、これをもう少し考えてみた。

　むしろ、量子力学は必須である！と言う方が正しいかったと思う。ただし、特に情報系の学生が量子コンピューティングを学ぶ前に、量子力学の授業を別途受けることが必須ということではない。というのも、量子コンピューティングは量子力学の上に築かれているので、一般的な量子コンピューティングの書籍は、（量子ビットの特性など）量子力学の最も基礎から始まるからである。そうしないと、話は始まらないのである。だから、そのような書籍や教科書から入って行けば良いのである。

　それでも、量子コンピューティングがかなり進んできて、（特に、エネルギーに関係する）物理や化学、最適化などの応用に取り組むには、学部レベルの量子力学を習得している必要があるだろう。小生の場合、ずっと、情報系で仕事をしてきたが、ここ数年は独自にアマチュア量子コンピューティングをやってきた。このあたりで、量子力学の基礎を見直したいと考えていたところ、私にとって最適と思われる以下の書籍に出会った。

Leonard Susskind & Art Friedman, Quantum Mechanics - The Theoretical Minimum, Penguin Books, 2014.（全364頁）（なお、本書のpdf版は無償公開されている）

　著者の一人Prof. Susskindは、著名な物理学者で、もう一人はその弟子である。シリコンバレーで働くIT技術者向けにStanford大学で行われた10回の講義が元になっているとのことである。それだけに精緻でとてもわかりやすい雰囲気だが、スイスイ読める内容ではない。理論は必要最小限にしているとはいえ、大事な計算はきちんとフォローしないとついて行けない。何とかここ２ヶ月ほどで一通り読み終えた。読み返すべき箇所も残っているが。通常の量子コンピューティングの書籍では得られない、量子力学の真髄をいくつか見直すことができた。たとえば、下図に示すような、「物理量（観測可能量）は線形演算子で表わされる」や「その期待値の時間微分は別の物理量と関係する」などである。他にもいくつかある。

🟢難しい内容も、明るく、楽しみながら掴もう！そういう思いを込めて、オリジナルの表紙にたくさんのデコレーションを施した。また、各章毎に付箋をつけたりして、本書の構成をよく掴めるようにする。それが私の読書流儀。

🟢第１章〜第10章に対応したYoutubeビデオもあり重宝する。各回約２時間あるのでじっくり見る。私の場合、本書を読んでから見ると分かりやすいと感じる。スタンフォードの教室での実写であり、受講者からの質問が多いのにも感心する。ちょっと考えながら、丁寧に回答しているSusskind教授の姿に親しみを覚える。

https://www.youtube.com/playlist?list=PL701CD168D02FF56F

🟢結論として、量子コンピューティングに着手することは、先入観に反して、それほど難しくないと言えよう。難しいのはその数学ではなく、量子そのものの理解であると言われる。これは念頭においた方がいいだろう。

佐藤文隆博士の逝去

In Memory of Dr. Fumitaka Sato

　仁科記念賞の受賞や、アインシュタイン方程式のトミマツ-サトウ解などで著名な物理学者 佐藤文隆博士が逝去されたニュース（2025年9月14日）に接した。私は単に、博士の一つの新書（下図）の読者にすぎないが、その叙述に感銘を受けていた。私は、物理学の素人であるが、ここ数年、量子コンピューティングの基礎的な技術に取り組んできた。その過程で、この書籍から量子論の哲学と言えるものを学ぶことができたように思う。ご冥福をお祈りします。

I was deeply saddened to learn of the passing of Dr. Fumitaka Sato on September 14, 2025.

He was a distinguished physicist, well known for receiving the Nishina Memorial Prize and for his contributions to general relativity, including the Tomimatsu–Sato solution of Einstein’s field equations.

Personally, I am only a humble reader of one of his books (pictured below), yet his writing left a lasting impression on me. Though I am not a professional physicist, in recent years I have been working on the foundations of quantum computing. Along the way, I felt that Dr. Sato’s book allowed me to glimpse something of the philosophy of quantum theory—a perspective that resonated with my own journey of exploration.

May he rest in peace.

🟢以下に、死去の３日前に行われた最後の京大での講演がある。

量子力学の100年 佐藤文隆（京都大学名誉教授）2025年9月11日

（１時間15分に渡る最後の講演、3日後の9月14日に死去）

https://www.youtube.com/watch?v=DUKInA1X32U

「変分アルゴリズム設計」でIBMの上級認定資格を取得

　前回、「量子機械学習」で、IBMの認定資格（Intermediate）を取得しました。（→こちらの記事です）今回は、「変分アルゴリズム設計」という認定資格（Advanced）です。下記のとおり、今回のチュートリアルは、量子力学の色彩が少し濃くなっています。分量も多く、難易度も高く感じられましたが、１週間ほど籠って学び受験しました。何とか合格しました！

🟢IBMチュートリアル：変分アルゴリズム設計
　量子力学を基盤とした理論が中心ですが、シミュレータやIBM Quantum 実機で例題も動かしながら進めます。最後の方の例題（VQE、VQDなど）のいくつかは実機でsessionを使うため、Open Plan（無料）では動かせません。しかし、その部分は説明を理解するだけで十分かと思います。

🟢資格認定バッチと認定証

🔴変分量子アルゴリズム（VQA:Variational Quantum Algorithm）の意義

　先日、理研のスパコン（富岳）とIBMの最新QuantumマシンHeronの連携のニュースがありました。そこでの有力なアルゴリズムの枠組みが、今回のVQAです。化学計算や組み合わせ最適化などを、既存のスパコンと量子コンの連携で解くための実用的な方法とされています。下図は、このニュース記事と今回のチュートリアルをもとに作成した私のオリジナル作品です！なので、©も宣言しています！

　化学の電子構造問題や組み合わせ最適化問題では、それぞれ特有のハミルトニアン（エネルギー演算子）の期待値が最小となる量子状態を探す（=基底状態エネルギーを得る）ことが求められます。これを、スパコンと量子コンの連携で解きます。ワークフローは図の通りですが、要点は、スパコン側は、量子コンが推定したハミルトニアンの期待値を受け取り、目的の基底状態エネルギーへ向けた最適化を図ります。一方、量子コンは、スパコン側が用意したAnsatz（パラメータ化された量子回路）を測定し、ハミルトニアンの期待値を推定することに徹します。

　この構成は、古典ニューラルネットワークを想起させます。スパコン側で設定するAnsatzは、ハミルトニアンに適合したネットワーク層の構成とニューロン数を決めることに相当し、そこに含まれるパラメータは、辺の重みとバイアスに相当すると考えられます。このパラメータは、通常、Ansatzを構成する量子ゲート（回転ゲート）の角度です。

　基底状態エネルギーへ向けた最適化では、コスト関数（=期待値）のパラメータに関する微分が必要なはずですが、量子コン側での微分は負担も大きく、ノイズの影響を受けやすいので、現実的ではないようです。そこで、スパコン側の最適化は、通常、gradient-freeな方法で（つまり、量子コン側に勾配を要求しないで）行われます。なお、スパコン側は、このようなワークフローを、多数のパラメータ初期値を用意して並列に実行（マルチスタート）できます。ただし、量子コン側はどの程度マルチで走れるのかはまだよく分かりませんが。

🔴VQAが量子コンピューティングの全てではない
　この枠組みは、"Quantum-Centric Supercomputing"と呼ばれています。しかし、上の図を眺めていると、「頭脳は従来のスーパンコンで、量子コンはこれまでにない驚異の物理実験装置」のように見えます。一方、量子コンピューティングの他の分野、例えば、量子暗号通信や量子機械学習などの発展も大いに期待されています。このような情報科学寄りの問題では、ハミルトニアンとは直接関係しない技法（確率振幅の増幅や位相推定など）が使われます。真に量子コンピュータに向いた問題は何なのかが、だんだん見えてくるのかも知れないです。

A Minimal Collection of LaTeX Examples for Mac Pages

　LaTeXにあまり慣れていない（私のような）人が、量子コンピューティングで資料を作る必要に迫られて作った忘備録です。これだけ頭に入れておけば、大体足りそうな、mini例題集です。なお、私は、LaTeXに関しては、WordよりもMac Pagesの方が、使いやすいように思います。

For other platforms, you may be able to write simpler LaTeX code, but here I have used a format that works reliably on Mac pages.

　この例題の全体は、こちらのpdfファイルにあります。

量子機械学習でIBM認定資格を取得

　IT分野では、資格認定が色々あります。量子コンピューティングの世界もそうなってきました。今回、量子機械学習（QML : Quantum Machine Learning）の基礎に関するIBM認定資格を取得しました。下図はそのデジタルバッチと認定証です。勉強や探求を続けるには、このようなマイルストーンがあるといいですね。

Earned IBM Certification in Quantum Machine Learning
In the IT field, there are many different kinds of professional certifications. Now, the world of quantum computing is beginning to follow the same path. This time, I obtained an IBM certification on the fundamentals of Quantum Machine Learning (QML). The image below shows the digital badge and certificate. Having milestones like this is a great motivation to keep studying and exploring further.

(→こちらに、その後取得した「量子変分アルゴリズム」認定資格があります。)

🔴IBM認定資格の意味
　IBMでは量子コンピューティング分野のいくつかの資格認定を、Foundational、Intermediate、Advancedに分けています。今回の資格（Intermediate）認定バッチは、例えて言うならば、「量子機械学習」という山岳への入山許可証みたいなものかと思います。道は険しく、まだまだこれからです。デジタルバッチの右下にある、登りかけの階段が象徴的です！

🔴IBMの量子コンピューティング関係チュートリアル
　量子機械学習関係の書籍はまだあまり多くないです。そんななか、IBMが提供している様々な量子計算チュートリアルの一つ、「量子機械学習」は非常に充実した内容になっています。以下のURLをご覧ください。

⭐️量子コンピューティングチュートリアル全体
    https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en

⭐️量子機械学習チュートリアル
    https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en/courses/quantum-machine-learning

　従来からの公開内容が、2025-07-01の開発環境の一新に伴い、大幅に改訂されています。(1)古典機械学習との関係、(2)古典データの量子化のためのEncoding、(3)Fidelityと量子カーネル、(4)QVC（量子変分回路分類器）とQNN（量子ニューラルネットワーク）などで構成されています。

　このチュートリアル全体の学習には、（経験による個人差が大きいですが）標準的には10時間程度。何ヶ所かに、そのセクションを要約した短いビデオがあり、大いに助かりました。また、理論と計算法の説明に加えて、シミュレータおよび量子コンピュータ実機で動かす例題もあり、コードを実行させながら理解を深められます。

　この講座全体を終えた後、１時間ほどのオンライン試験を受けます。守秘義務のため試験内容等は書けませんが、合格ラインは80点/100満点です。不合格になっても、一定期間後には、再挑戦できる教育的配慮もなされています。

　ただし、前提条件として、量子ビットと量子ゲートの基礎（重ね合わせ、確率振幅、相対位相、テンソル積、ユニタリ変換、エルミート行列、量子もつれ、観測量、測定など）、および、量子計算プログラム開発環境にも、ある程度馴染んでいる必要があります。そうでない場合は、下記の講座からスタートするのが良いと思います。
　⭐️量子情報の基礎
    https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en/courses/basics-of-quantum-information

🔴情報工学科ではどうする
　世の中の関心も高いので、情報系学科では、量子コンピューティング基礎科目を設置するところが増えています。現時点では実用的でなくても、このような先進分野の魅力を教えてこそ大学、という見方もあるでしょう。一方、そんな時間があるのなら、急成長の生成AIやAIエージェント技術をうんと教えて、就職させた方いい、と言えるかもしれない。0か1かではないこの状況が、まさに量子力学的であリます！