量子計算における位相キックバック(Phase Kickback)

【要旨】量子コンピューティングの（恐らく）中級レベルになると、位相キックバックと呼ばれる現象の利用が重要となる場面がある。その数学モデルを調べる。

🔴 位相キックバックとは

　「キックバック」と言っても、もちろん、最近話題になっている「⚪︎⚪︎資金のキックバック」ではない。「位相のキックバック」のことである。具体例を一つ見てみよう。図１において、レジスタが２つあり、２つのqubitを使うとする。上段のqubitの状態を|0>とし、アダマールゲートHを適用する。下段は|1>に初期設定する。次に、上段を制御ビット、下段を標的ビットとする制御付きZゲート（CZゲート）を適用する。

　この時、CZの前後で、両方のqubitの状態はどのように変わるであろうか。下段のqubitは、上段のqubitの値が１になった時にZゲートが作用するので、|1>が-|1>に変化（相対位相が180度増加）するが、上段のqubitは単に制御用なので変化はないはずである。ところが、実際には、そうはならず、下段のqubitは変化せず、上段のqubitの相対位相が反転する！これは不思議に思える！この現象が、位相キックバックである。

🔴 位相キックバックの数学モデル

　だが、この不思議に思える現象は、図２に示す数学モデルで明確に説明できる。とりあえず、上部qubitに適応される最後「H」と「測定」はここでは無視して欲しい。図１ではCZを用いたが、ここでは一般的に、制御付きユニタリ行列Uを使っている。ただし、Uへの入力状態|v>は、Uの固有状態であるとする。

　図２に示す通り、下段のqubitに起こった位相の変化が直ちに上段のqubitに反映される（キックバックされる）ことが分かる。

　次に、上部qubitに適応される「H」と「測定」はなぜ付加されているのか？それは、図３に示す通り、その測定結果（確率）から、固有状態の固有位相を推定できるからである。

🔴 位相キックバックの数学モデルの確認

　ここまでで、位相キックバックの仕組みは分かったのだが、念のため、図１でのケースを計算してみると図４のようになる。

🔴 自作量子回路シミュレータによる位相キックバックの確認

　最後に、自作のシミュレータ（スマホアプリとして作成）を使って、図１に相当する位相キックバックを図５に示した。量子状態|q0q1>の基底ベクトルのそれぞれを円グラフにして、確率振幅（塗りつぶし円の面積）と位相（黒実線の角度）を示している。左隅と中央の図から、上段（Alice）のqubitの位相が、CZの前後で180度反転していることが分かる。また、右端図から、測定結果が必ず1となることも分かる。測定するまでもなく。