新年を迎えて：原点から湧き出るような

 　新年を迎え、今年もこうありたい、という想い（の一端）を描いてみた。良く知られていることだが、複素数の神秘の一つを、久しぶりにPythonでコーディングしてみた。ある程度イメージに近いかも知れない。本当は、綺麗なアニメーションにすべきだが、そこまで手が回らない。Pythonで書くにあたっては、ChatGPTのお世話になった。今年もそういう機会はどんどん増えるだろう！

　短いgif画像を残像処理付きで作ってみた。流れがはっきり見えてきた！

　これ以外にも、複素数の神秘をいくつか描いてみた。極と零点付近の偏角の分布と、-1のn乗根である。

Feliz Natal (Merry Christmas)

ブラジルの量子コンピューティング関係の友人から、素敵なクリスマスカードが届きました！

"Feliz Natal" とはポルトガル語で「メリークリスマス」を意味します。

ご覧ください。

なお、彼の小さな素晴らしい量子コンピューティング書籍はこちらで紹介しました。

40分で量子コンピューティングに親しむ（Quantum Computing in 40 minutes）

こんなチュートリアルを作ってみました。日本語pdf版で14ページです。

（ご希望の方にはお送りします。）

[題名]

40分で量子コンピューティングに親しむ

[ねらい]

　量子力学や量子コンピュータに馴染みのない方々（学生、技術者）に、この分野を学ぶきっかけとしていただくことを目指し、短い説明を試みました。一定の技術内容は含めましたが、叙述の一貫性や精密さよりも親しみやすさを第一としました。量子コンピュータの高速性の仕組みに気をかけながらも、従来の”計算”（computation）と対比した場合の斬新さと不思議さに迫ることに主眼を置いています。

　もう一つの特徴として、自作のモバイル量子回路シミュレータを動かし、その結果の図も取り入れて具体性を持たせました。さらに、量子コンピュータは（難しい技術課題を抱えながらも）そこまできていることを感じていただくため、IBM Quantumコンピュータ実機での「量子もつれ」の実行例も含めました。

[目次]

🔸概 要

🔸量子ビット/量子ゲート/測定 (qubit, quantum gates, measurement)

🔸重ね合わせ（superposition）をどのように使うのか

🔸重ね合わせの応用(1) Grover の探索アルゴリズム（振幅増幅法）

🔸重ね合わせの応用(2) 偽コイン発見パズル（量子天秤）

🔸量子もつれ（entanglement） - その1 (Bell回路)

🔸量子もつれ（entanglement） - その2 (Tiny Mermin-Peres Magic)

🔸量子コンピュータの実機は利用できるのか？ Yes, You Can !

🔸量子コンピュータの現状と今後

🔸補足事項

（このチュートリアルに含まれる幾つかの図を以下に示します。）

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I made this article. It's 14 pages long (Japanese PDF version). (Please contact me if you need it.)

[Title]

Get familiar with quantum computing in 40 minutes

[Objective]

A short explanation has been provided for students and engineers who are not familiar with quantum mechanics and quantum computers, with the aim of offering an opportunity to learn about this field. Although a certain amount of technical content has been included, familiarity has been prioritized over consistency and precision of description. Emphasis has been placed on the mechanism behind the high speed of quantum computers, highlighting their novelty and mystery compared to conventional "computation." Another feature is the inclusion of diagrams generated by running a mobile quantum circuit simulator, making the explanation more concrete. Additionally, an example of "quantum entanglement" executed on a real IBM Quantum computer has been provided to illustrate how far quantum computers have progressed, despite the technical challenges they continue to face.

[Table of Contents]

🔸Overview

🔸Quantum bits and quantum gates

🔸How to use superposition

🔸Applications of superposition (1) Grover's search algorithm (amplitude amplification method)

🔸Applications of superposition (2) Fake coin detection puzzle (quantum balance)

🔸Quantum entanglement - Part 1 (Bell circuit)

🔸Quantum entanglement - Part 2 (Tiny Mermin-Peres Magic Game)

🔸Can we use a real quantum computer? Yes, You Can!

🔸Current status and future of quantum computers

🔸Additional information

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The end of the year is approaching. I am preparing next year's calendar. Mt. Fuji often appears as a picture on the calendar. Mt. Fuji is of course beautiful, but I love this mountain more than Mt. Fuji.

Using MicroBlocks with a Quantum Circuit Simulator

In the previous article, I used MicroBlocks to control the slider of the MIT App Inventor app from a micro:bit device. This time, I tried to display the results of my quantum circuit simulator on the micro:bit. Yet another use case for the micro:bit!

In quantum computing, one of the simplest and most important circuits is the Bell circuit, because it generates strong quantum entanglement. For example, for the Bell circuit in Fig.1, if the states of the two quantum bits are |0> and |1>, the output (measurement result) will be 00 and 11 with a 50% probability, respectively. And the results 01 or 10 will never appear. In other words, if the measurement result of one quantum bit is 0, the other will always be 0. On the other hand, if one is 1, the other will always be 1. I would like to try to display such a situation on the micro:bit.

My mobile circuit simulator has 12 types of quantum circuits using 2 to 6 qubits built in as examples. This time, I selected the Bell circuit from among them, as shown in Figure 2. The measurement results for that were displayed on the micro:bit, as shown in Figure 1. Of course, you need to first connect this simulator and the micro:bit with BLE. Each time the go button is pressed, the display on the micro:bit changed according to the probability obtained in ④.

[Design Considerations]

Since this circuit deals with two quantum bits, it is natural to use two micro:bits to display the output. However, when using MicroBlocks, it was found that the following two methods are either not possible or difficult to achieve.

• Connect multiple micro:bits via BLE from the app.
• Connect the app and micro:bit with BLE and use the radio from that micro:bit to communicate with another micro:bit.

Therefore, this time I decided to display the measurement results of two quantum bits on a single micro:bit.

Correction

I will correct the second paragraph above. A separate instance of both the MicroBlocks and the Bluetooth LE extension for each connection allows multiple micro:bits to be used from the app. I would like to thank David Kim, Peter Mathijssen, and John Maloney for letting me know this.

[Additional information]

The above example focuses on two qubits, but I have also created a version shown below that can display the measurement results for up to five qubits.

Using MicroBlocks with a Quantum Bit Simulator

Recently, I read an article titled "Using MicroBlocks with MIT App Inventor" [1]. It looked very interesting, so I applied it to the quantum bit simulator I am creating. Specifically, I controlled two sliders to change the state of quantum bit on the Bloch sphere with a single MicroBlocks device. I was able to experience a fun feeling of operation that was different from software sliders!

The outline is summarized in two figures, Fig. 1 and Fig. 2, below. If you would like to know more about this quantum bit simulator, please refer to the document [4]. 

🔴Here is another example of using the micro:bit.

In addition, the following three documents [1][2][3] were very helpful. I would like to express my gratitude.

References

[1] Using MicroBlocks with MIT App Inventor (by App Inventor Foundation)
https://microblocks.fun/blog/2024-11-08-appinventor-intro/

[2] MicroBlocks BLE Extension (by Peter)
https://community.appinventor.mit.edu/t/microblocks-ble-extension/129412

[3] Tools Extension (by Taifun)
https://puravidaapps.com/tools.php

[4] A List of my blog articles on Quantum Computing

https://sparse-dense.blogspot.com/2024/03/a-list-of-my-blog-articles-on-quantum.html

How to run quantum circuits on the development platform Qiskit

[Abstract] IBM Qiskit is used as a typical development environment for quantum computing. Its version is frequently updated, and some parts are soon deprecated, which can be confusing. The description of quantum gates and quantum circuits remains almost the same, but there are frequent changes in simulations and execution methods on actual machines. Here, I would like to note three typical execution methods at the present time (2024-11-10).

🔴Example: Quantum computation part of Shor's prime factorization algorithm

Here, we will focus only on running the order finding quantum circuit, which is the main part of Shor's algorithm. Fig.1 shows the prime factorization of the very small integer 15 (15 = 3 × 5) for demonstration purposes. We will not explain the relationship between the entire Shor algorithm and the quantum circuit in Fig.1 this time, so if necessary, please refer to the following past articles.

• Shorの素因数分解に親しむためのスマホアプリ
• Shor's Algorithm：量子コンピューティングの学びの最高峰
• Developing a mobilephone app to demonstrate Shor's prime factorization

🔴[1] Simulation with Qiskit Sampler (run on local PC)

Qiskit Sampler is the most common simulator for running a quantum circuit (name: qc) like the one in Fig.1 (including measuring the lower three qubits). The main points of its use are as follows. The results of this simulation (measurement results of 1,000 shots) are shown in Fig.2.

# Running the Simulation
from qiskit_aer.primitives import Sampler
sampler = Sampler()
result = sampler.run(qc, shots=1000).result()

# Extraction and visualization of measurement results
quasi_dists = result.quasi_dists
binary_quasi_dist = quasi_dists[0].binary_probabilities()
counts_dict = quasi_dists[0].binary_probabilities()
counts = Counts(counts_dict)
plot_histogram（counts)

🔴[2] Simulation incorporating a noise model of the actual machine (run on a local PC)

In the above, the simulation results (Fig.2) show that the counts corresponding to the four bases are approximately 25% each, and the counts of the other bases are zero as expected because there is no noise. In addition to using a normal sampler like this, it is also possible to perform simulations that reflect the noise generated by the actual quantum computer.

Fig. 3 shows the result of incorporating a noise model generated by a real machine (127-qubits) named ibm_sherbrooke into AerSimulator and running it. Indeed, the effects of noise that did not occur in Fig. 2 are apparent. This may be useful for preliminary examination before running on a real machine.

# important imports

from qiskit_aer import AerSimulator

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2 as Sampler

# Set the noise model of the real machine

real_backend = service.backend("ibm_sherbrooke")

aer = AerSimulator.from_backend(real_backend)

pm = generate_preset_pass_manager(backend=aer, optimization_level=1)

isa_qc = pm.run(qc) # transpile for the real machine

sampler = Sampler(mode=aer)

result = sampler.run([isa_qc],shots=1000).result() # execution

# Extraction and visualization of measurement results

pub_result = result[0]

counts = pub_result.data.c.get_counts() # Note the 'c' !

plot_histogram(counts)

🔴[3] Execution on an actual IBM Quantum machine (submitting a job via the web)

Next, the job was submitted to an actual IBM Quantum machine via the web and executed. The machine was ibm_sherbrooke, the same as that given in the noise model above. The job was executed in batch mode, so the execution results were retrieved via the web after it was completed. This is shown in Fig. 4, and it was found to be almost identical to the simulation results shown in Fig. 3, which reflect the above noise model.

# Automatically select machines with low load

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

service = QiskitRuntimeService(channel="ibm_quantum", token= "***")

be = service.least_busy(simulator=False, operational=True)

print(f"QPU backend：{be}")

# Transpile for real machine and submit the job

pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=1, backend=be)

ic = pm.run(qc) # Transpiled circuit

job = Sampler(be).run([ic], shots= 1000)

print(f"job ID: {job.job_id()}")

print(f"job statusI: {job.status()}")

# After execution, the results are retrieved and displayed

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

service = QiskitRuntimeService(

    channel='ibm_quantum',

    instance='ibm-q/open/main',

    token='token for the job'

)

job = service.job('jab ID')

job_result = job.result()

counts = job.result()[0].data.c.get_counts()

plot_histogram(counts)

The execution status is shown in Fig. 5. Usage = 2 sec. Free users are limited to 10 minutes of usage per month. This is sufficient for testing simple quantum circuits, but caution is required when testing slightly more complex quantum circuits, as this can result in unexpectedly high usage. At present, there are three models of actual machines available for free use, as shown in Fig. 6. For paid users, eight more models of actual machines can be used in addition to these.

🔴 Differences between the results of a real machine and a simulator

Currently, quantum computers generate various noises, which causes errors. For example, the difference between the results of a pure simulator (Fig. 2) and the results of a real machine (Fig. 4) shows this. Although it cannot be said in general, errors that occur on a real machine can have a large impact on the necessary calculations. However, in the case of this example problem, due to the nature of probabilistically searching for an order, it can be said that the difference between Fig. 2 and Fig. 4 is almost no problem.

量子コンピューティング開発環境Qiskitでの実行方法

English version here
【要旨】量子コンピューティングの代表的な開発環境として、IBM Qiskitを利用している。そのバージョンアップは頻繁になされて、すぐにdeprecated（非推奨、または廃止）となる部分が多く、困惑する場合がある。量子ゲートや量子回路の記述などはほとんど変わらないが、シミュレータ、および実機での実行方法などの変更が多発する。ここでは、現時点（2024-11-10）での典型的な実行方法３つをメモして置きたい。

🔴例題：Shorの素因数分解アルゴリズムの量子計算部分
　ここでは、Shorのアルゴリズムの主要部である位数計算（order finding）量子回路を動かすことだけに注目する。Fig.1は、デモとして動かすための、極く小さな整数15の素因数分解（15 = 3 × 5）の場合である。Shorのアルゴリズム全体とFIg.1の量子回路との関係などは今回は説明しないので、例えば以下のような過去記事をご覧いただきたい。

• ショアの素因数分解に親しむためのスマホアプリ
• Shor's Algorithm：量子コンピューティングの学びの最高峰
• Developing a mobilephone app to demonstrate Shor's prime factorization

🔴[1]Qiskit Samplerによるシミュレーション（ローカルPCで実行）
　Fig.1のような量子回路（名称：qc）の実行（下位３量子ビットの測定を含む）を行うための最も一般的なシミュレータとして、Qiskit Samplerがある。その利用の要点は以下のとおりである。このシミュレーションの結果（1,000 shotsの測定結果）をFig.2に示す。

# シミュレーションの実行
from qiskit_aer.primitives import Sampler
sampler = Sampler()
result = sampler.run(qc, shots=1000).result()

# 測定結果の取り出しと図示
quasi_dists = result.quasi_dists
binary_quasi_dist = quasi_dists[0].binary_probabilities()
counts_dict = quasi_dists[0].binary_probabilities()
counts = Counts(counts_dict)
plot_histogram（counts)

🔴[2]実機のノイズモデルを組み込んだシミュレーション（ローカルPCで実行）
　上記では、シミュレーション結果（Fig.2）として、４つの基底に対応するカウントがほぼ25%づつで、それ以外の基底のカウントは、ノイズがないので、理論通りゼロとなった。このような通常のSamplerによる以外に、量子コンピュータ実機で発生するノイズを反映させたシミュレーションを行うこともできる。
　Fig.3は、ibm_sherbrookeという名の実機（127-qubits）で発生するノイズモデルを、AerSimulatorに組み込んで実行した結果である。確かに、Fig.2では発生しなかったノイズによる影響が出ている。実機で実行する前の事前検討などに有用であろう。

# 重要なimport

from qiskit_aer import AerSimulator

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2 as Sampler

# リアルマシンのノイズモデルをセット

real_backend = service.backend("ibm_sherbrooke")

aer = AerSimulator.from_backend(real_backend)

pm = generate_preset_pass_manager(backend=aer, optimization_level=1)

isa_qc = pm.run(qc) # 実マシン向けのtranspile

sampler = Sampler(mode=aer)

result = sampler.run([isa_qc],shots=1000).result() # 実行

# 測定結果の取り出しと図示

pub_result = result[0]

counts = pub_result.data.c.get_counts() # 'c'を指定することに注意！

plot_histogram(counts)

🔴[3]IBM Quantumマシン実機での実行（web経由でジョブを投入）

　次に、IBM Quantumマシン実機へweb経由でジョブを投入し、実行を行った。マシンは、上記のノイズモデルで与えたものと同じibm_sherbrookeである。ジョブはバッチ形式で実行されるので、その終了後にWeb経由で実行結果を取り出す。それを表示したものがFig.4である。上記のノイズモデルを反映したシミュレーション結果Fig.3とほぼ同一であることが確認できた。

# 負荷の少なそうなマシンを自動選択

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

service = QiskitRuntimeService(channel="ibm_quantum", token= "***")

be = service.least_busy(simulator=False, operational=True)

print(f"QPUバックエンド：{be}")

# 実マシン向けのtranspileを行い、Jobを投入

pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=1, backend=be)

ic = pm.run(qc) # Transpile結果

job = Sampler(be).run([ic], shots= 1000)

print(f"ジョブID: {job.job_id()}")

print(f"ジョブI状態: {job.status()}")

# 実行終了後に、結果を取り出し、表示。

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

service = QiskitRuntimeService(

    channel='ibm_quantum',

    instance='ibm-q/open/main',

    token='jobに対応するトークン'

)

job = service.job('jab ID')

job_result = job.result()

counts = job.result()[0].data.c.get_counts()

plot_histogram(counts)

　この実行の状況をFig.5に示した。Usage = 2 secとなっている。無償ユーザは、毎月10分までのUsageという制約がある。簡単な量子回路の試験には十分であるが、少し複雑な量子回路になると想定外に多くのUsageを使うことになるので、注意が必要である。なお、現時点では、無償で使える実機はFig.6に示すとおり、３機種であった。有償の場合は、これらの他にさらに８機種の実機が利用できる。

🔴実マシンとシミュレータの結果の相違について

　現状では、量子コンピュータは種々のノイズが発生するので誤りが起こる。例えば、純粋のシミュレータの結果Fig.2と、実マシンによる結果Fig.4の相違がそれを示している。一概には言えないが、実機で起こる誤りが、必要な計算に与える影響は大きい場合がある。だが、本例題に限って言えば、確率的に位数（order）を探すという性質上、Fig.2とFig.4の差はほとんど問題にならないと言える。

量子国際会議Quantum Innovation 2024 Tokyo参加メモ

【要旨】政府関係機関（理研など）主催の量子コンピューティング国際会議 "Quantum Innovation 2024" が、東京（お茶の水）で３日間に渡り開催された。主に、研究者や専門家向けの会議である。日本、米国、欧州などの主要な研究機関からの講演と多数のポスター展示が行われた。小生は、単なる量子コンピューティング愛好者（アマチュア）に過ぎず、理解は全く十分ではないのだが、参加しての感想などを、極く簡単に述べたい。

https://quantum-innovation.riken.jp/

🔴開催概要
　参加者は500名を超え、会場のキャパシティから満員御礼が出ていた。量子コンピュータの実用化にはまだまだ時間がかかる状況にも関わらず、これだけの参加者があって、活気に満ちていたことは、予想外であった。大手の量子コンピュータメーカであるIBMやGoogleなどからの発表などは全くなかった。もしも、それもあれば、雰囲気はもっと変わっていただろうが、今回はそうではなく、各国の政府関係機関や大学等の取り組み状況や研究開発マイルストーンが示され、討論がなされた。

　狙いとして、(1)量子技術の実用化の促進、（２）量子技術の人材育成、（３）国際協力の促進などが掲げられていたのだが、（２）の人材育成はほとんど語られず、(1)と(3)が主な話題であった。講演はKeynoteを含めて80件ほど、また、ポスタセッションは合計150件と意外に多かった。講演は著名な研究者の登壇が目についたが、ポスターは学生発表もかなり多かった。それが、暗黙の（２）人材育成なのかも知れない。

🔴Plenary Sessions（Keynote）からいくつか
・Sergio Cantu : QuEra’s path to fault-tolerant quantum
　ボストンを拠点とするQuEra Computing IncのCEOの講演。超電導方式に代わる中性原子（neutral atom）による量子コンピュータの開発で、昨年末あたりから急に有名になっているベンチャである。HarvardおよびMITと密接に繋がっている。特に、量子エラー訂正に対するアプローチと、フォールト トレラントな量子コンピューティング（ハード、ソフト、アルゴリズム、クラウドアクセスを包含）の実現を目指す。2024年に256-qubit、2025年に3,000-qubit、2026年に10,000-qubitを世に出したいとのこと。

・Vlatko Vedral (Oxford U):Quantum physics in the macroscopic domain
　冒頭で、"Quantumとは真に何を意味するか？”という、ドキッとする質問を会場に投げかけていた。案の定、哲学的というか生命の根源に関わる話が続いた。すなわち、生命システムも量子コヒーレンス、重ね合わせ、そして量子エンタングルメントも利用して、特定のタスクを効率的に実行していることを示唆する証拠がある（バクテリアでの例）というお話！それを、マクロレベルで、量子効果の維持および制御に結びつけられるのかを考える。すなわち、量子コンピュータを構成するために。

・Taro Shimada（Quantum STrategic industry Alliance for Revolution(Q-STAR)）
Q-STAR’s initiatives for building a quantum ecosystem
　Q-STARは、産官学一体となった量子技術への転換を加速させることを目指す、日本の一般社団法人。量子技術の急速な進歩に伴い、多くの国が国家戦略を策定し、国際協力を推進している。Q-STARは、堅牢な量子システムの構築、国際標準化の推進、グローバルパートナーシップの強化に向けて活動している。具体的な量子コンピュータ方式としては、冷却原子タイプのものに着目しているようである。

・Celia Merzbacher（QED-C　米国）:QED-C Overview: Looking back and looking ahead
　QED-Cは、量子産業の実現と成長を目指す利害関係者の経済グローバル コンソーシアムである。米国国家量子イニシアチブ (NQI) の一環として設立され、250 を超えるメンバーと米国立標準技術研究所 (NIST) によってサポートされている。QED-C は、エネルギー、金融、物流、ナビゲーション、バイオメディカルなど、さまざまな分野での量子技術の使用事例に関するレポートを公開していて、国際協力を進めるている。だが、技術輸出は、国家の安全保安上、慎重さが求められることも強調していたのが印象的だった。

🔴一般講演の分野は三つ
上記以外の講演とポスターセッションは、大きく以下の３分野に分けられていた。

• 量子コンピューティング（Quantum Computing）
• 量子センシング（Quantum Sensing）
• 量子暗号と通信（Quantum Cryptography & Communication）

　このうち、"量子コンピューティング"は、小生の期待に反して、アプリケーション寄りのものは皆無で、ほとんどがデバイスを含む、量子コンピュータの構成技術そのものに関する。広範な実用アプリケーションを議論するまでに至っていない現状を改めて認識させられた。ポスターセッションの発表件数を見ても、全体で150件のうち、この"量子コンピューティング" と "量子センシング" がその８割ほどを占めていた。

🔴量子暗号と通信（Quantum Cryptography & Communication）
　これは、社会一般にそのインパクトが伝わりやすいので注目度は高まっている。特に、量子鍵配送（QKD：Quantum Key Distribution）は、量子セキュアネットワークの不可欠な要素である。（正しいか否か確信は持てないが）この分野は、汎用的な量子コンピュータが実現しなくても、すでに利用できる量子技術があるため研究開発が進んでいるのではないか。すなわち、アプリケーションレイヤーのソフトウェア技術は、1984年に発表されたBB84と、1991年に発表されたEkert Protocolが現在でも理論的基盤となっていることは間違いなかろう。

　BB84では量子もつれは使われないが、Ekertは量子もつれが根底にある。両アルゴリズムとも、送信者と受信者が独立にランダムに選択した正規直交基底を用い、それぞれの測定結果としての確率が、盗聴の有無を決定づける。だが、100Kmオーバーの距離で、大量のもつれた量子対を光通信で送るための技術課題が多く、現在それに取り組んでいるという状況らしい。すなわち、アプリケーションレイヤの下の、Network management、Key management、Quantum Layerの各々の実装技術である。数件あったこの分野の発表のうち、シンガポール国立大のHao Qinの講演や、東芝のShinya Murai氏による講演は比較的分かりやすく、説得性があったように思う。

Testing my mobile quantum circuit simulator

[Abstract] This article tests the applicability of the mobile quantum circuit simulator Qsim_multi that I have developed so far with MIT App Inventor. As examples, I have taken the inverse Quantum Fourier transform and the order finding problems that appear in a recently published book. These form the basis of Shor's prime factorization algorithm. In conclusion, I have confirmed that my simulator Qsim_multi can handle these problems successfully.

🔴 A new book on quantum computing

Recently, I bought a new book (FIg.1) by Nivio Dos Santos. The title is "How to code for Quantum Computers", but it is not a so-called how-to book, but a compact summary of basic concepts. As soon as you open the book, you get the feeling that something fun is written in it. In the second half, the quantum Fourier transform, quantum phase estimation, and Shor's algorithm calculations are explained in detail. Therefore, I would say that this is a book for beginners to intermediate level.

Although the main text does not include any program code, the Python code (Jupyter Notebook) for the Google Cirq environment is publicly available on the Web, which is useful.

I ran the following two examples from the book on my mobile quantum simulator. However, I noticed something important here. That is the order of the quantum bits. My simulator is the same as IBM Qiskit, but in Cirq, the order is reversed. Therefore, it was necessary to reverse it. However, even if I did that, for example, the results of the quantum Fourier transform would have different phases even if the probabilities of each basis were the same. If you keep that in mind, there is no problem.

🔴 Example1: Using Inverse-QFT

First, here is an example using the inverse quantum Fourier transform. Fig.2 shows the circuit diagram and quantum state consisting of 16 bases explained in this book. The inverse quantum Fourier transform invQFT is shown in its expanded form. The small filled circles in each circle indicate the probability, and the slope of the red line indicates the phase.

The result of converting this to my simulator and running it is shown in Fig. 3. This simulator has a built-in inverse quantum Fourier transform (IQFT), so I used it as is. Comparing the quantum state with Fig. 2, the probability is the same, and the phase is a mirror image. This result shows that my simulator is operating normally.

🔴 Example2: Finding the order of [g^k mod N = 1]

Next, we will look at the order-finding problem, which is important in Shor's algorithm. Here, we find the order of the specific example "7^k mod 15 = 1", that is, the smallest integer k that satisfies this equation.

The quantum circuit and the order discovery results are shown below. Fig. 4 is from the Cirq environment, and Fig. 5 is from my simulator. The measurement results after applying "7^k mod 15 " and invQFT were consistent for both in a 3-qubit system. That is, out of the eight possibilities, only 010, 100, 000, and 110 were measured with equal probability. By approximating the result to a rational number, we obtained 1/4, and found that the order was 4. The details of why we can say this and its relationship to Shor's algorithm are shown below:

　2024年7月9日火曜日

　Shor's Algorithm：量子コンピューティングの学びの最高峰

　https://sparse-dense.blogspot.com/2024/07/shors-algorithm.html

In Fig. 4, the measurement results are shown as the frequency of occurrence in 1000 trials, and in Fog.5 they are shown as probability calculation results.

In addition, in my simulator in Fig. 5, the measured values ​​for the four cases (3-qubit) are divided into four. This is a little difficult to see, so it would be better to summarize it as shown in Fig. 4. I would like to address this in the next version update.

🔴Conclusions
For simple cases of the inverse quantum Fourier transform and the order finding problem, my mobile quantum circuit simulator gave identical results to those run in the Google Cirq environment, confirming the applicability of the simulator to a certain extent.

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Thank you Nivio for your great response!

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自作モバイル量子回路シミュレータのテスト

【要旨】本稿は、これまでに自作したモバイル量子回路シミュレータQsim_multiの適用性をテストするものである。例題として、最近発刊されたある書籍に載っている、逆量子フーリエ変換と位数発見問題を取り上げた。これらは、Shorの素因数分解アルゴリズムの根幹を成している。結論として、自作シミュレータQsim_multiがこれらを正常に処理できることを確認できた。

🔴 A new book on quantum computing

　最近、Nivio Dos Santos著の新刊（FIg.1）を購入した。タイトルは、"How to code for Quantum Computers"となっているが、いわゆるハウツー本ではなく、基本概念がコンパクトにまとめられている。本を開いたとたんに、何か楽しいことが書いてある、という雰囲気がある。後半には、量子フーリエ変換、量子位相推定、Shorのアルゴリズムの計算が詳細に説明されている。だから、初級から中級レベルの本だと言える。

　本文には、プログラムコードはほとんど出てこないが、Google Cirq環境用のPythonコード（Jupyter Notebook）がWeb上に公開されているので重宝する。

　この本に掲載されている以下の二つの例題を、私の自作モバイル量子シミュレータで稼働させるのである。だが、ここで重要なことに気づいた。それは、量子ビットの並べ順である。私のシミュレータは、IBM Qiskitなどと同じだが、Cirqでは、それが逆順になっているのである。したがって、それを逆転させる必要があった。しかし、そうしても、例えば、量子フーリエ変換の結果などは、各基底の確率は同一になっても、位相は異なるだろう。それを踏まえて扱えば問題ない。

🔴 Example1: Using Inverse-QFT

　まず、逆量子フーリエ変換を使う例である。Fig.2はこの書籍で説明されている回路図と16個の基底からなる量子状態である。逆量子フーリエ変換invQFTは展開形で示されている。それぞれの円内の塗り潰した小さな円は確率を示し、赤い直線の傾きは位相を示す。

　これを私のシミュレータ用に変換して実行した結果をFig.3に示す。このシミュレータには、逆量子フーリエ変換IQFTを内蔵しているので、それをそのまま使った。量子状態をFig.2と比較すると、確率は同じであり、位相は鏡像反転している。この結果から、私のシミュレータは、正常に稼働していることが分かる。

🔴 Example2: Finding the order of [g^k mod N = 1]

　次に、Shorのアルゴリズムで重要な位数発見問題である。ここでは、具体例「7^k mod 15 = 1」の位数、すなわち、この式を満たす最小の整数kを求める。

　量子回路と位数発見結果を以下に示す。Fig.4はCirq環境であり、Fig.5は私のシミュレータによる。「7^k mod 15 」とinvQFTの適用後の測定結果は、3-qubitシステムにおいて、両者で一致した。すなわち、８個の可能性のうち、010、100、000、110の四つだけが、それぞれ等しい確率で測定される。その結果を有理数近似して1/4が得られ、位数が４であることがわかった。なぜそう言えるのかの詳細と、Shorのアルゴリズムとの関係は以下に示されている：

　2024年7月9日火曜日

　Shor's Algorithm：量子コンピューティングの学びの最高峰

　https://sparse-dense.blogspot.com/2024/07/shors-algorithm.html

　Fig.4では、測定結果は、1000回試行おける出現頻度で示してあり、Fog.5では確率計算結果として示している。

　なお、Fig.5の私のシミュレータでは、測定した4ケース（3-qubit）の値が、それぞれ四つに分かれている。これは少し見にくいので、Fig4.のようにまとめた方が良い。次回のバージョンアップの際に対処したい。

🔴結論

　逆量子フーリエ変換と位数発見問題の簡単な場合について、私のモバイル量子回路シミュレータは、Google Cirq環境で実行されたのと同一の結果を与えた。一定の適用性を確認できたと考える。