ビジュアル観察：機械学習カーネル法と代数多様体の特異点解消

　少し大袈裟なタイトルかも知れない。「機械学習SVCにおけるカーネル法」と「代数多様体の特異点解消」の考え方に共通点があるように思われたので、ごく簡単な一例でその関係性をビジュアルに観察した。

🟢一般向け数学講座ビデオ

　きっかけは、石井志保子東大名誉教授による一般向け数学講座「代数多様体の爆発（Blow up)」 （こちらのYoutubeビデオ）を見たことである。易しく、とても分かりやすく、素晴らしいと感じた。この講座には、当然ながら、機械学習の話は出てこない。だが、小生が感じたことを以下に記したい。

🟢機械学習SVC（Support Vector Classifier）のカーネル法

　まず、Fig.1は、よく知られたSVCを利用する簡単な適用例である。Fig.1(a)は、ある曲線に載った2Dデータで、赤青にラベル付されている。ご覧の通り交差した配置なので、ここで、線形に"スパッ"と赤青にクラス分けすることはできない。しかし、カーネル法という方法で、2Dデータを高次元（この場合は3D）に持ち上げ、そこで学習させると、Fig.1(b)に示した緑色の平面で線形分離できるようになる。

🟢１次元代数多様体の特異点をBlowupで解消させる

　ここからは、上記の解説ビデオに基づく話になる。ただし、Fig.2とFig.3は小生が独自に作成したものである。

　簡単な１次元代数多様体をFig.2(a)に示した。原点が特異点になっていることに注意されたい。ここでは、機械学習のような分類問題ではなく、この特異点を解消して滑らかな曲線にしたい。そこで、Fig.2(b)に示すように、blowup（爆発）という方法で、曲線を2Dから3Dへ持ち上げる。すると、赤い点の特異点が青い点２つに分離されて、滑らかな曲線となる。

　このBlowupという方法をFig.3に示した。xy平面において、原点を通るあらゆる直線について、平面での傾きをZ軸の高さとして、そのまま持ち上げる方法である。

🟢カーネル法とBlowupの共通点

　上記に述べた２つは、データ分類のためのカーネル法と、特異点を解消するためのBlowupである。両者の目的は異なるが、「２Dデータを高次元へ持ち上げて問題を解決する」という共通のアイディアがあるように思われる。

　別の見方をすれば、（このビデオで言及されていたことだが）元々はある空間において、「明確に分類されていた」、あるいは「特異点のない滑らかな曲線であった」のだが、２Dへ写像したために、データのクラスが混在したり、どこかが潰れて特異点ができた。それを、元の空間へ戻して、本来の姿を復元させるという共通点があるのではないか。

🟢感 想　

　機械学習や量子コンピューティングは、数学の分野（多様体論や圏論など）とまだまだ深い関係がありそうだ。少しづつ馴染んで行きたいものである。

　また、別の話だが、Fig.1〜Fig.3を描くプログラムコードは、生成AI（GeminiやChatGPT）の助けを借りて、ほとんど自動的に素早く作ることができた。時代は変わったとつくづく思う次第である。