Bell回路の時間発展アニメーション

Time Evolution of the Bell Circuit

🔴概 要
　前報（→こちら）では、１量子ビットに対するアダマール変換が、シュレディンガー方程式を利用した時間発展と等価であることを知った。今回は、２量子ビットで量子もつれを生じさせるBell回路を対象として、同様の考察を行った。多くの量子コンピューティングの書籍では、１番目の量子ビットにアダマール変換を施し、次に２つの量子ビットにCNOTを施すと、瞬時に量子もつれ状態になると説明されている。だが、そこへ至るまでの時間発展を観察することは、量子力学を少し深く知ることに繋がり、量子コンピューティングを学ぶ上で有用であろう。

In the previous post, we learned that the Hadamard transformation applied to a single qubit is equivalent to time evolution governed by the Schrödinger equation.In this study, I extended that idea to a two-qubit system — the Bell circuit, which generates quantum entanglement.

In many quantum computing textbooks, it is explained that if we apply a Hadamard gate to the first qubit and then a CNOT gate to the two qubits, the system instantly becomes an entangled Bell state. However, observing how the system evolves in time toward that entangled state provides deeper insight into quantum mechanics itself. Such an approach can be highly valuable for anyone learning quantum computing, as it connects the abstract circuit model with the underlying physical process of quantum evolution.

🔴Bell回路の時間発展の観察

　下図の下段には、Bell回路のシミュレーションのスナップショットが示されている。左側は、アダマール変換を施した結果を、右側にはその後CNOTを施した結果である。一方、上段のグラフは、Bell回路に対応するハミルトニアンを時間発展させた結果である。シミュレーションの前半と後半に分けて、４つの基底|00>, |10>, |01>, |11>それぞれの測定確率を描いている。

　詳細は略すが、前報同様に、アダマールゲートとCNOTゲートそれぞれに対応するハミルトニアンを時間発展させている。完了時間も、前報と同様に設定されるが、ここでは、前半と後半がそれぞれ換算時間が1.0となるようにしてある。経過時間1.0では、シミュレーションの結果と同じく、|00>と|01>がそれぞれ確率0.5で出現することがわかる。また、経過時間２.0では、量子もつれを意味する結果が得られている。すなわち、|00>と|11>の確率がそれぞれ0.5に置き換わっている。

　さらに、上記のことを見やすくするために、アニメーションも作成した。

　

　なお、3-qubitがGHZと呼ばれる量子もつれに至る状況も同様に描くことができた。つまり、|000>を初期状態として、適切なハミルトニアンの時間発展で (|000>+|111>)/√2の状態に至る過程は以下のようになる。