A Thunkable app reproducing the polarized filters experiments

I created an app in Thunkable that faithfully reproduces the photon polarization experiment. Thunkable is a no-code programming system, similar to MIT App Inventor, but it incorporates a unique concept and is mainly an application development environment for advanced users.

●Purpose of the app

The main aim of the app is to familiarize students with the fundamentals of quantum computing through photon polarization.　What I am doing here is an experiment in which linear polarizers are superimposed and images are viewed. When two polarizing sheets are stacked vertically (axis angle 0°) as in Fig.1(a), it is clearly visible, but when the front sheet is tilted 90° as in Fig.1(b), it is not visible at all. However, if another polarizing sheet is inserted between these two sheets at an angle of 45° as in Fig.1(c), it can be seen to some extent. Since the polarizing sheet is a filter, it is hard to imagine that it is better to see three polarizers than two. No matter how many times I try, it still surprises me. 

●App overview

The newly developed Thunkable app, as shown in Fig. 2, faithfully reproduces this mysterious phenomenon on a smartphone screen.

Also, please take a look at the video below, which shows the operation in the order of (a), (b), and (c) in Fig.2.　The installation of the polarizing sheet is specified using a switch, and the angle of its axis can be changed by operating a slider.

●Mathematical model behind the app

This phenomenon can be explained by the quantum computing model shown in Fig.3. That is, it can be explained using an ordered orthonormal basis that corresponds to the orientation of the polarizer. The details are explained in the section “The Basis Associated with a Given Polarization Direction” in Reference [1].

●Important points when creating the app

When developing this app, it is necessary to find the probability p that a photon polarized at an arbitrary angle θ passes through a polarizing sheet with a tilt angle α. It can be calculated using the formula shown in Fig.4.

By reflecting this probability of passing proportionally to the transparency of the colored paint, we were able to reproduce a close-to-realistic appearance on the smartphone screen.

(Note) In this app, calculations are made assuming that the square polarizer is large enough. Therefore, when a small polarizing plate is used as shown below, the appearance of the edge portion may differ from the actual experimental results.

●Link to the app

The source code for this app is available here.

(This app has been tested on Android, but not yet on iOS.)

Reference

 [1] Chris Bernhardt: Quantum Computing for Everyone, The MIT Press, 2020.

https://www.chrisbernhardt.info/

A smartphone app reproducing the appearance through polarizers

Abstract

This app shows what it looks like with some polarizers placed between the image and the eye. That is, the polarization angle of the photons emitted from the plane of the image and the axis angles of the polarizers are used to calculate how bright they appear. The mathematical model is fully explained in Prof. Chris Berhardt's book "Quantum Computing for Everyone". This relates the spin of an electron to the polarization of  a photon.

■ Experiments on light using polarizers

A typical experiment is shown in Fig1. When a polarizer with an axis angle of 0° (north direction) is superimposed on another polarizer with an axis angle of 90°, it becomes completely dark as shown in (a). This is because no photons pass through the second polarizer due to the fact that the two directions are perpendicular. However, when a polarizer with an axial angle of 45° is inserted between these two polarizers, the image can be seen to some extent well as shown in (b).

■ A smartphone app that simulates polarizers

We designed a smartphone app that can perfectly reproduce the above mysterious phenomenon, and developed it quickly using MIT App Inventor. Fig.2(a) shows its user interface. On the other hand, Fig.2(b) is the explanation screen of the mathematical model which is the principle of this application. This shows the formula for calculating the probability of a photon passing through a polarizer. This probability is reflected in the transparency of the color. Furthermore, Fig. 3 shows it visually.

The experiments with this app shown in Fig.4(a) and Fig.4(b) correspond to Fig.1(a) and Fig.1(b), respectively. The axis angle of each polarizer can be set with a slider. These results perfectly reproduce the manual experiments shown in Fig. 1(a) and (b). And Fig. 5 shows the observation when the polarization angle θ of the incident photon is changed from 0° to 45°. This result also seems perfectly convincing.

■ Youtube video showing how this app works

The above experiment using this app is published in the following Youtube video:

https://youtu.be/wGJEK0RhXkA

(the link to the video has been updated, so please click again.)

■ MIT App Inventor program

As mentioned above, this app was efficiently developed with MIT App Inventor. Fig.6 shows its main part. The polarization angle of the incident photon and the angle of the axis of the polarizer determine the probability of the photon passing through it, and determine the color transparency accordingly.

■ A little improvement for your enjoyment

You can also change the background image and user interface design to your liking. Fig.7 shows an example.

"Quantum Computing for Everyone" 再訪1-測定と基底

[要旨]数ヶ月前に、"Quantum Computing for Everyone" by Prof. Chris Bernhardtを、最後まで読み終えた。だが、そのままにしておくと記憶が薄れてしまうので、再度最初から学び直し、頭に定着させることにした。前回見落としていたこと、新たに分かったことも出てきた。名著であることを再認識している。本記事では、（量子もつれの前段の）電子のスピン、光子の偏光、量子ビット、順序付き正規直交基底、重ね合わせ、測定の考え方等を、独自のイラスト中心にまとめて復習とした。（続編も書く予定である。）

その後[補足1][補足2]][補足3]説明を追加した。2023-05-01

■Quantum Clock

　これは、全くヘンテコな時計だ。見ることも、何時かを聞くこともできない。できるのは、例えば、"12時ですか？”のように問うことだけである。その答えは、"はい、12時です"、または、"いいえ、6時です”のいずれかになる。Fig.1で簡単に説明する。"12時ですか？”の答えが来た後に、再度同じ質問をすれば、全く同じ答えが返ってくる。すなわち、２回とも、"はい、12時です"、となるか又は２回とも、"いいえ、6時です”のいずれかとなる。だが、２回目の質問を、"3時ですか？”に変えると、その答えは、"はい、3時です"、か又は、"いいえ、9時です”のいずれかになる。

　この量子時計なるもの、何かの役に立つのか？Yesなのである。この後に示す「電子のスピン」や「光子の偏光」を測定する場合と全く同じなのである。すなわち、"XX時ですか？" は、量子をXX方向で測定することに相当するのである。

■電子のスピンの測定（measuring spin of electrons）

　古典ビットには、"測定"という概念はない。だが、量子ビット（qubit）は、測定することによってはじめてその値が決まる。有名なStern-Gerlachの実験を模倣した、電子のspinの測定イメージをFig.2に示す。測定装置（apparatus）の向きが重要であることを示したものだ。

　この状況を説明する数学モデルをFig.3に示す。図は連続して計測するケースだが、その向きが異なる場合を説明している。測定器の向きとそれに対応する順序付き正規直交基底（ordered othonormal bases）の関係は、量子コンピューティングのおける最も重要な基本事項の一つであろう。

■光子の偏光の測定（measuring polarization of photons）

　光子の偏光を測定する場合、上記のStern-Gerlachでの磁石を用いた測定器に相当するのが偏光板（polarizing filter）である。特に注目に値するのは、Fig.4の(b)の２枚の偏光板（0°と90°の）の場合よりも、(c)の３枚偏光板の方がより多くの光を通すことだ。通常のフィルタの常識とは逆の結果なのである。

　Fig.4の状況も、Fig.5に示す数学モデルで明快になるのである。この場合も、偏光板（Polarizer）の向きに対応する順序付き正規直交基底で説明できる。

■補足１（偏光板の軸の傾きと順序付き正規直交基底）

　例えば蛍光灯からは、毎秒10の20乗個の光子（光の最小単位）が放出される。光子ひとつづつが、それぞれランダムな方向に波打って進む。その波の傾きが、偏光板（フィルタ）の軸の傾きと一致すれば、その光子は偏光板を確実に通過する。一方、両者の傾きが直交する場合は、光子は通過できず確実に吸収される。では、それ以外の傾きの光子はどうなるのか？それを説明するのが、上記Fig.5なのである。偏光板の軸の傾きに対応した、順序付き正規直交基底（以後、単に基底と呼ぶ）は以下のようになる。その導出計算はここでは略す。

　基底の1番目のケットベクトルは偏光板の軸の傾きに対応し、２番目のケットベクトルは偏光板の軸に垂直な傾きに対応する。偏光板に向かってくる光子は、これら２つのケットベクトルの線形結合になっていると考える。そして、偏光板で見る（光子を計測する）時、光子が偏光板を通過する確率は、１番目のケットベクトルの係数の２乗となる。通過しない確率は２番目のケットベクトルの係数の２乗となる。これら２つの確率の和は1.0となる。これが要点である。

　例えば、Fig.4とFig.5の(c)のケースでは、１枚目の偏光板を通過した光子は全て、基底Aの１番目のケットベクトルになっている。それを２枚目の偏光板で測定する場合には、光子は基底Bの２つのケットベクトルの線形結合となる。したがって、基底Bでの測定で光子が通過する確率は、１番目のケットベクトルの係数の２乗、すなわち、0.5になる。３枚目の偏光板についても同様である。結論として、１枚目の偏光板を通過した光子が３枚目まで通過する確率は0.5x0.5=0.25となる。したがって、(c)の図のようにある程度の明るさでものが見えるのである。

■補足２（追加実験）

　最後に、念のためFig.6に示す追加実験を行った。つまり、Fig.4 (c)の実験で使った３番目の偏光板の向きを、２番目と同じく45度に揃えた。すると、順序付き正規直交基底が２番目と３番目の偏光板とで同一になる。そのため、１番目の偏光板を通過した光子の半数が２番目の偏光板を通過し、それらの光子が全て３番目の偏光板をそのまま通過したのである。その結果、(d)に示す通り、(c)の場合よりも明るく見えることが確認できた。

■補足３（過去のブログ記事）

　本件に関しては、過去に同様の記事（こちら）を書いた。武田俊太郎氏の解説に基づいたものである。今回の記事は、数学的にやや厳密になっている。

　さらなる詳細は、Prof. Bernhardtの書をご覧いただきたい。緻密でわかりやすい叙述のおかげで、一定の持続力があれば、上記３件の"測定"を十分に理解できるはずである。なお、Fig.1〜Fig.6は本書には掲載されていない。いずれも、小生の理解を明確にするために自作したものである。