Quantum Teleportation Using a Mobile Quantum Circuit Simulator

This article provides additional information about “Lab 16: Quantum Teleportation,” one of the examples introduced in the previous article.

IBM’s Qiskit supports dynamic circuits, allowing a quantum teleportation demonstration to be performed without any manual intervention during execution. Mobile quantum circuit simulators, on the other hand, do not support this feature. Therefore, the required quantum gates must be manually added to Bob’s circuit according to Alice’s measurement results. The procedure is straightforward, however, and produces the same results as Qiskit.

The procedures for both methods are described below. In this example, Alice transfers to Bob the state obtained by applying RY(π/3) followed by RZ(π/6) to the initial state |0>.

🔵 Quantum Teleportation in Qiskit Using Dynamic Circuits

See Fig. 1. Once the dynamic circuit has applied a Z gate, an X gate, or both to Bob’s qubit q2, depending on Alice’s measurement results, q2 is in the state teleported from Alice’s qubit q0.

To verify that the teleportation was successful, the inverse rotations RZ(-π/6)  and RY(-π/3) are then applied to the teleported state, returning it to |0>.

🔵 Quantum Teleportation Using a Mobile Quantum Circuit Simulator

Fig. 2(a) shows the operations performed on Alice’s side using the mobile simulator. These operations produce the measurement result for q1q0.

Fig. 2(b) shows how the appropriate quantum gates are manually added on Bob’s side according to Alice’s measurement result. Further details are provided in the figure.

Learning Quantum Computing with a Mobile Simulator

日本語版はこちら

[Note] Regarding Lab 16: Quantum Teleportation

In Example Lab16, we use "GoAfterMeas," a special measurement button. Please refer to the detailed explanation for this.

🔴 Using a Mobile Simulator to Learn Quantum Computing

Professor Aleksandar Radovanovic of the University of the Western Cape has published the following book as a resource for learning the fundamentals of quantum computing:

Quantum Computing: Problems and Solutions—Exercises with Detailed Solutions for Students and Educators (October 2025)

Qiskit code is available for 23 of the book’s key exercises and can be run using IBM’s Qiskit simulator. I have confirmed that many of these exercises can also be run on the mobile quantum circuit simulator I developed with MIT App Inventor. Although support for some of them is still a work in progress, I would like to introduce one example here. The images below show the book and the mobile simulator.

🔴 Running an Exercise on the Mobile Quantum Circuit Simulator

Let us take a look at an example. The image on the left below shows some brief documentation. From the list of exercises on the right, I selected “Lab 13—Grover Search Algorithm.”

The image on the left below shows the quantum circuit description for Grover’s search algorithm, the corresponding circuit diagram, and an example run. The circuit description can, of course, be edited.

The image on the right shows the result after running only the first Oracle–Diffusion iteration. Even at this stage, the result suggests that the target state, “1101,” can already be found with high probability.

🔴 Why Use a Mobile Simulator?

As noted above, all these exercises can be run successfully using IBM’s Qiskit simulator. My simulator, however, offers a different kind of value: you can take your mobile device out of your pocket and start using it anytime and anywhere, without an internet connection or any environment setup.

I believe that being able to read the textbook and immediately test its concepts on a mobile device makes quantum computing more approachable and helps deepen the reader’s understanding.

At the same time, a mobile simulator of this kind has its limitations. My simulator performs one shot per button press, so it is not well suited to collecting statistics from a large number of measurement shots. However, because it theoretically calculates the probabilities of all computational basis states, this is unlikely to be a serious limitation in most cases.

The simulator also cannot integrate with classical optimization modules, which are required for applications such as quantum machine learning. For those tasks, platforms such as IBM Qiskit are the better choice.

量子計算のテキストとモバイル量子回路シミュレータ

【注】Lab16-Quantum Teleportationについて

　例題Lab16では、特殊な測定用ボタンである"GoAfterMeas"を使います。こちらの詳細説明をご覧ください。

🔴モバイルシミュレータを量子コンピューティングの学びに活用

　量子コンピューティングの基礎を学ぶためのテキストとして、Prof. Aleksandar Radovanovic (University of the Western Cape)は以下の書籍を出版しています。

QUantum Computing: Problems and Solutions - Exercises with Detailed Solutions for Students and Educators, October 2025.

　この中にある主要な23個の例題に対しては、IBM Qiskitシミュレータで動くコードが公開されています。その多くは、私の開発したモバイル量子回路シミュレータで動かせることを確認できました。一部はまだ未完成ですが、そのうちの一例をご紹介します。以下の図はその本とモバイルシミュレータです。

🔴モバイル量子回路シミュレータでの実行

　ではさっそく、一例をご紹介します。下図の左側は簡単なドキュメンテーションです。右側の例題一覧から、ここでは、"Lab13- Grover Search Algorithm"を選択しました。

　以下の左側の図に、このGrover Searchの量子回路記述と回路図、および、実行例が示されています。もちろん、回路記述を編集することもできます。右側の図は、"Oracle & Diffusion"の繰り返しのうち、最初の1回だけを実行した結果です。この時点で、ターゲットである"1101"が、すでに高い確率で見つかることを示唆しています。

🔴なぜモバイルシミュレータを使うのか？

　これらの例題は、上記のとおり、IBM Qiskitシミュレータで完全に実行できます。しかし、私のシミュレータは、いつでも、どこでも、ポケットからモバイル端末を取り出し、インテーネット接続も環境設定も不要で、すぐに使えます。そこに存在価値があります。テキストを読んで、モバイル端末ですぐに内容を確認することで、親しみやすく、理解が深まると信じます。

　一方、このようなモバイルシミュレータの限界もあります。このミュレータは、"1ショット/１ボタンプッシュ"ですので、多数回の測定（ショット）によって統計値を得ることは苦手です。でも、全ての基底状態の出現確率は理論的に算出されるので、多くの場合あまり困らない筈です。さらに、量子機械学習などで必要な、古典最適化モジュールとの連携もできません。それらは、IBM Qiskitなどでやれば良いのです。

[参考情報]

　アフリカのAfrica Quantum Consortiumのロゴが美しいので掲載させていただきます。

ペリガルの分解（ピタゴラスの定理）のアニメアプリ

　先の記事で、ピタゴラスの定理に関して書きました。その美しい証明であるペリガルの分割が頭に残っていて、そのアニメをMIT App Inventorでも作ってしまいました。

　スマホで、ビジュアルを楽しめます。

　オブジェクトを任意の位置へ移動させることはImage Spriteで簡単にできますが、問題は部品オブジェクトの形状やその中心位置の設定です。それを精密にしないと当然、ズレが生じます。

If you are interested in this app and would like to try it out, please contact me. I will provide the Android version (APK file).

これまでの量子関係ブログ記事170件をAIに纏めてもらう

　2022年春頃から、これまでに、約170件の量子コンピューティング関連記事を、「Sparse-Dense Blog」に書いてきました。ここにその記事のタイトル一覧（記事へのリンク付き）があります。それをAIに渡して、それらの内容を１枚の紙にイラスト風に纏めてもらいました。３者（ChatGPT、Google Gemini、365Copilot）にお願いしてみました。一番良かったのが以下のイラストです。誰がベストかは伏せておきます。

　結論として、かなり優秀な出来栄えだと思います。ただし、一部正確さに欠けたり、書いて欲しい点が抜けていたり、私が言っていないことまで追加されていたり、と減点せざるを得ないところもありました。しかし、全体としては85点の合格点をつけたいと思います。（文字が小さいので拡大してご覧ください。）

A Needle-Dropping Game to Approximate π as 3.14

I created a game app based on the “Buffon’s Needle” experiment from my previous post. What makes it interesting is the seemingly mysterious fact that you can approximate π simply by dropping needles onto parallel lines—without drawing a circle anywhere! This could also make a fun app-development exercise for junior high and high school students. So, let’s take a look at the app I created. For this kind of project, I usually use MIT App Inventor. In this case, the ImageSprite feature was especially useful, allowing me to implement the needle-dropping action quite nicely.

πの近似値3.14が得られるまで針を投げるゲームアプリ
　これはゲームアプリの作成です。前報の「ビュフォンの針」に基づいていますが、少し仕様は異なります。でも、円周も描かないのに、平行線に針を投げるだけで、πの近似値が求められる不思議さを味わえます。中高生向けのアプリ開発例題にできるかもしれません。早速、作成したアプリを以下に示します。この種のアプリを作る場合、私はMIT App Inventorを使います。今回は、特にImageSpriteの機能を使って、針の投入をうまく書くことができました。

A quick note before going any further. Buffon’s needle experiment was originally designed to estimate π by tossing a large number of needles. This app, however, keeps tossing needles until it obtains 3.14—that is, π correct to two decimal places. Still, there may be some educational value in building the app yourself and experiencing the curious fact described above: π emerges simply by tossing needles onto parallel lines.

I have also added a small trick. Since the result depends on the sequence of random numbers, it is possible that the estimate may take quite a while to reach 3.14. So, somewhat secretly, I set the initial state as if 100 needles had already been tossed, with 64 of them crossing one of the red parallel lines. This gives a crossing probability of 0.64, corresponding to π = 3.125, which is already a fairly good estimate. So, in most cases, tossing just a few dozen more needles should be enough. In the example shown above, the estimate reached 3.14 after a total of 110 needle tosses.

For reference, let the distance between the parallel lines be D and the needle length be L. When D=L=1, as explained in the Doc above, π can be estimated as follows:

m=total number of needles tossed

n=number of needles crossing a parallel line

π≈2m/n ​

The best (m,n) pair I have found so far using this app is (m,n)=(8900,5666),which gives π≈2×8900/5666=3.1415, correct to four decimal places. With the help of AI, it would probably be easy to find many more such pairs—but that might take some of the fun out of it.

If you are interested in this app and would like to try it out, please contact me. I will provide the Android version (APK file).

円周率近似法「ビュフォンの針」を量子計算の教育的なデモにできるか？

要旨：タイトルに対する回答：大きくYESとは言えないが、ある程度可能、である。教育的観点から、量子コンピューティングを身近な問題に適用してみたいと考えていた。その一例として、1777年に発表された「ビュフォンの針（πの近似計算）」に着目した。たくさん平行線が引かれた紙の上に、多数の針をばらまき、それらが平行線と交わる確率pを求める。すると（平行線の間隔と針の長さが共に１の場合）、π=2/Pとなる！とても不思議に思えるが、それは高校数学で証明できる。そのシミュレーションは、通常モンテカルロ法による。だが、ここでは量子的方法で実行を試みた。結論としては、完全な量子計算にすることは困難だが、量子コンピューティングの重要な側面に触れるという教育的意義はあった。

🟢「ビュフォンの針」の古典版と量子版の概要

　円周率πの近似値を「ビュフォンの針」によって求める。従来のモンテカルロ法と、量子振幅推定（QAE: Quantum Amplitude Estimation）を用いる方法の両方で試した。どちらの方法でも、多数の針に対して、針が平行線と交差するかどうかを、針の中心位置と角度から判定することが必要である。

　モンテカルロ法では、各針について交差の有無を調べ、交差した針の本数を数えて合計し、それを全体の本数で割ることで、交差確率の近似値が得られる。

　一方QAEでは、状態準備回路によって、針の中心位置と角度に対応する量子状態の全てを、量子重ね合わせ状態として準備する。その後、オラクルと呼ばれる量子回路によって交差状態のみに位相反転を与え、量子干渉を利用して交差状態に対応する振幅を増幅させる。さらに、その振幅に対応する回転角（固有位相）を推定することで、交差確率pを直接推定することができる。

　どちらの方法でも交差確率pが求まれば、平行線の間隔と針の長さがともに1の場合、（ビュフォンの針の肝である）p=2/πが成立するので、πを推定することができる。

🟢古典版「ビュフォンの針」の実行

　まず、モンテカルロ法によるシミュレーションのアニメをご覧頂きたい。

　乱数系列に強く依存するので、何とも言えないが、図１の通り、8,900本の針を投入した場合、πの近似値として５桁正解の3.1415まで得られたことに驚いた。

🟢量子版「ビュフォンの針」の実行

　上で述べた本来のオラクルは、sinθの計算と比較演算による交差判定を行い、交差状態にある針を意味する量子状態の位相を反転させる。だが、それを完全な量子回路として実現するには多くの困難を伴う。そのため、ここでは、交差判定は、あらかじめ古典計算で済ませることにした。それに基づく位相反転機能だけをオラクル量子回路に持たせた。

　そのようなオラクルを図２に示した。針の中心位置yと角度θをそれぞれ、分解性能を３量子ビットで表現しているので、それらで決まる8×8=64個の針の量子状態を全て重ねた状態を一度に持つことができる。このオラクルは、そのうちの交差状態に対して最終段の標識量子ビットq6を反転させている。

　例えば、最初のMCX（多制御付きNOT）では、針の量子状態|000000〉が交差と判定された後、標識ビットq6が反転するようになっているので、|000000〉⊗|1〉という状態となる。その後、標識ビットが|1〉の場合は、|000000〉の位相が反転される。

　

　次に、このオラクルを、量子振幅推定器QAEに渡す。QAEは、重要な量子回路ライブラリとして使えるようになっている。QAEは、量子干渉を利用して交差状態に対応する振幅をGrover演算で増幅させ、その振幅に対応する回転角（固有位相）を推定することで、交差確率pを直接推定することができる。

　ともかく、このようにして、量子的ビュフォンをシミュレーションで実行させた。その結果を以下に示す。yとθの解像度と、QAEで使う評価用量子ビット数に強く依存するが、今回はπ=3.12というある程度の精度を得た。上記の6量子ビットと標識用１量子ビットに加えて、AQEで必要な評価用９量子ビットの合計16量子ビットを使っている。

==簡易OracleとQAEによる、量子的「ビュフォンの針」の実行結果==

使用した全量子ビット数           : 16

QAE推定確率 P (交差確率)       : 0.639260

計算された円周率 π (推定値)    : 3.128618

実際の円周率 (理論値)              : 3.141593

誤差                                      : 0.012974

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🟢補 足

　精度の面では、モンテカルロ法では試行回数Nを増やすと推定誤差はO(1/√N)で減少する。したがって精度を10倍向上させるためには、理論上100倍の試行が必要となる。一方、QAEではオラクルの呼び出し回数Nに対して推定誤差がO(1/N)で減少するため、精度を10倍向上させるためには理論上10倍のオラクル呼び出しで済む。この結果、QAEは古典モンテカルロ法に対して二次加速（quadratic speedup）を実現できることが理論的に示されている。

　ただし、ここで用いた回数N意味は両者で異なることに注意が必要である。モンテカルロ法におけるNは試行した針の本数を表すのに対し、QAEにおける回数Nはオラクル（交差判定回路）の呼び出し回数を表す。したがって、この二次加速は実行時間そのものではなく、交差判定へのアクセス回数（クエリ複雑度）の観点での理論的な優位性を意味している。

🟢感 想

　「ビュフォンの針」による円周率近似において、簡易的、部分的にではあるが、オラクルという量子回路を設定し、それをQAE（量子振幅推定）に繋げて結果を出すことができた。古典的にはモンテカルロ法で求める交差確率を、個々の試行での加算を行わずに、振幅増幅によって直接読み出すという、量子コンピューティングの重要な側面に触れることはできた。ただし、本来の（本物の）オラクル回路にはなっていない点は明確にしておきたい。

　この問題は、従来のモンテカルロの方が圧倒的に容易に計算できるので、（こんなに複雑な）量子の出番はないとも言える。量子の得意分野は他にある。それでもなお、今後、教育的により適切な量子計算の例題を探求していきたい。

🟢

量子振幅推定QAE (Quantum Amplitude Estimation)の性能

　量子振幅推定QAE (Quantum Amplitude Estimation)は、量子的方法が古典的方法よりも優位である可能性を示す一例です。金融のリスク評価など、実用的にも非常に重要とされています。標準的なQAEでは、理論通り、求める確率のエラーが、オラクル呼び出し回数Nに対して、1/Nに（1/√Nではなく）減少することをシミュレーションで確認しました。ノイズに強い改良型のQAEを用いた、量子コンピュータ実機での実行は今後の課題ですが。

🟢どのような問題？
　具体例を図1に示します。中央のブロッホ球面に一つ量子状態が示されています。これは、北極状態に対して、右側に示すように、２つの量子ゲートRy(60°)とRz(15°)を適用した結果です。そのため、これを測定した場合、|0>になる確率は０.75、|1>になる確率は0.25と算出できます。では、この量子状態がどのように設定されたかが不明な場合、|1>となる確率を求めたい、という問題です。以下の２つの方法を比較します。

🟢Standard Sampling（モンテカルロ法）
　これは通常の方法です。多数回のサンプリングによって確率を求めます。誤差をε以下にするには、1/ε² 回のサンプリングが必要なことが分かっています。例えば、ε=0.01以下にしたい場合、10000回サンプリングが必要です。

🟢QAE (Quantum Amplitude Estimation )
　上記モンテカルロ法よりも、圧倒的に少ない測定回数で精度よく振幅推定する方法です。QAEは、Groverの探索と同様の構成と量子位相推定（QPE）を組み合わせた方法であり、内部で、「位相の増幅」を含むモジュール（ここではこれをOracleと呼ぶ）を呼び出します。誤差をε以下にするには、1/ε回のOracleの呼び出しで済みます。例えば、ε=0.01なら、100回となります。なお、Oracleの呼び出し回数は、QAE内部の評価量子ビットの個数に応じて最適に決められます。

🟢シミュレーションによる両者の性能の比較
　図２に、両者の誤差減少の模様をプロットしました。ここで、横軸に注意いただきたい。Standard Samplingの場合は、回数Nは、サンプリング（shot）回数です。一方、QAEの場合は、回数Nは上記に述べたOracleの呼び出し回数です。両者とも、回数Nの増加に対する誤差の減少は、理論値とかなりよく合致することがわかりました。QAEの優れた特性が確認できました。

　実時間の比較で、どちらの方法が短時間で正答できるかを言うことは困難です。つまり、QAEの実装回路を実行する量子コンピュータ実機の性能、特にノイズによるエラーの影響を考慮する必要があるからです。そこで、理論的な性能指標として、Oracleの呼び出し回数を用いるのが通例です。今回もそれを用いた次第です。今回はシミュレーションでの比較でした。量子コンピュータ実機での比較は今後の課題です。現在、ノイズに強い改良型QAEの研究開発も進められていますので。

ピタゴラスの定理のアニメーション

　多くの人に馴染みがあるピタゴラスの定理（中学校では３平方の定理と呼ぶらしい）の証明は多数あります。ここでは、「ペリガルの分解」を使います。３辺のうち、２番目に長い辺bで作られる正方形の中心pを求め、それを通る直線を２本引く。１本目は、斜辺cと並行に。２本目は斜辺cと垂直になるように。それで決まる４個の四角形と辺aで作られる正方形からなる５個のピースを、並行移動により、斜辺cで作られる正方形に埋め込む。これだけですが、以下のアニメーションは不思議さが残り、楽しめるでしょう！

🟢Androidスマホアプリとしても作成しました。こちらにあります。

　東京理科大学の数学体験館には、ピタゴラスの定理を視覚的に示す動く模型があります。秋山仁教授も解説しています。上記とは少し方法は異なるようですが、似ています。

　なお、下図のようなGarfield（第20代米国大統領になった人）の方法もあります。上記のアニメーションの方法よりも（少し計算が必要ですが）直感的ですね。右側の台形の面積を２通りに計算してそれが等しいことを使ったものです。上記のペリガル分解では、図形の並行移動しか使っていませんが、このGarfieldは、図形の複製、回転、移動を使っている点が異なります。

    情報工学や量子コンピューティングでも、このような常設展示室を作って、触って、動かして理解できるようにすれば良いのではないかなあ。私自身は既に現職ではないので、作るとしたら"バーチャル体験館"になりますが、これまでの作品を見直して再構築も。ただし、何時になるは分かりませんが。例えば、以下のような過去記事などが候補です。

🟢量子コンピューティングを学ぶためのアプリをMIT App Inventorで開発（総集編）

Experimental Quantum State Tomography Using SIC-POVM

 【Abstract】Quantum state tomography is a technique for determining an unknown quantum state. One approach to implementing it is through a Positive Operator-Valued Measure (POVM). In this method, many identical copies of an unknown quantum state are prepared and measured to reconstruct the state. A POVM provides a more general framework for quantum measurement than the standard projective measurement on an orthonormal basis. In this article, we implement a SIC-POVM, one particular class of POVMs, for a single qubit on an IBM Quantum processor (ibm_kingston). The experimental results demonstrate that several unknown quantum states can be reconstructed with high accuracy.

🟢 Overview of SIC-POVM

SIC-POVM stands for "Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measure". The general theory of POVMs is described in References [1], [2], and [3], while Reference [3] provides a detailed discussion of SIC-POVMs. For a quantum system of dimension d, a SIC-POVM consists of d² projection operators,  

        E_i = |ψ_i><ψ_i|/d

and  satisfies the following formula:
        |<ψ_i|ψ_j>|² = 1/(d+1)   (i ≠ j)

Here, |ψ_i> represents a pure quantum state on the Bloch sphere.

For a single qubit (d = 2), the SIC-POVM consists of four state vectors. The squared inner product between any pair of distinct vectors is therefore 1/3. A specific example is shown in Fig.1. For convenience, it is customary to choose the first state as |ψ₁> = |0>, and the four vertices corresponding to these state vectors form a geometrically elegant regular tetrahedron inscribed in the Bloch sphere.

🟢 Implementing Quantum State Tomography

An unknown quantum state cannot be reconstructed using only the conventional Z-basis measurement. For example, if measurements along the Z axis yield |0> and |1> with equal probabilities of 50%, multiple quantum states are consistent with those results. Additional measurements along the X and Y axes are therefore required.

A SIC-POVM, in contrast, can be regarded as a special measurement device with four output channels. When a large number of identical copies of an unknown qubit are sent into this device, each output channel records a certain number of detection events. The relative frequencies (probability distribution) represent the overlap between the unknown quantum state and each of the four SIC-POVM state vectors. If the state corresponding to the i-th SIC-POVM element is denoted by |ψ_i>, the measurement probability becomes as follows:

        P_i = (1/2)|<ψ_i|Unknown state >|²

A particularly attractive feature of SIC-POVM tomography is that these four probabilities directly determine the Cartesian coordinates (X,Y,Z) of the unknown state on the Bloch sphere through the following equations:

X = √2(2P₂ - P₃ - P₄)

Y = √6(P₃ - P₄)

Z = 4P₁ - 1

🟢 Performing SIC-POVM Measurements on an IBM Quantum 

If a known quantum state is simply treated as an unknown one, reconstructing it using the SIC-POVM formulas presents no theoretical difficulty. Implementing the procedure on an actual quantum computer or a quantum circuit simulator, however, requires some additional consideration.

On a real quantum processor, the probability is not obtained by directly calculating the inner product between the state vector and a measurement vector. Instead, many identical copies of the quantum state are prepared and measured repeatedly. The measurement probabilities are then estimated from the observed frequencies according to Born's rule.

Most quantum computers, however, can perform only projective measurements in the computational (Z) basis. As shown in Fig. 1, three of the four SIC-POVM measurement directions point diagonally toward the southern hemisphere of the Bloch sphere rather than along the Z axis.

To overcome this limitation, an appropriate unitary rotation is applied immediately before measurement so that the desired SIC-POVM measurement direction is mapped onto the Z axis. A standard Z-basis measurement is then performed, yielding the measurement probability corresponding to that SIC-POVM element. The present experiment follows exactly this procedure.

🟢 Two Quantum States Treated as Unknown

In our experiment, the two known quantum states shown in Fig. 2 were deliberately treated as if they were unknown. Both are pure states located on the surface of the Bloch sphere. In Case 1, the state lies on the equator with a phase angle of 0. In Case 2, the state is located in the southern hemisphere with a phase angle of π/3. We expected that the state in Case 1 would be easier to reconstruct than that in Case 2.

It should be emphasized that the parameters used to define these "unknown" states (θ and φ) were not used anywhere in the reconstruction process. Only the four SIC-POVM measurement directions were used. Consequently, the same procedure would work equally well for a genuinely unknown input quantum state.

🟢 Reconstruction Results

Table1 summarizes the results obtained for both cases using the Qiskit simulator and the IBM Quantum processor (ibm_kingston). The table lists the Cartesian coordinates (X,Y,Z) of the original quantum states treated as unknown, together with the measured probabilities (P₁, P₂, P₃, P₄) obtained from both the simulator and the real quantum hardware.

The reconstructed Cartesian coordinates (X, Y, Z) deserve particular attention. As expected, the quantum state in Case 1 was reproduced almost perfectly by the IBM Quantum processor. The state in Case 2 was also reconstructed with a high degree of accuracy, demonstrating that SIC-POVM-based quantum state tomography can successfully identify unknown single-qubit states even on present-day quantum hardware.

【References on POVM】

[1] Peter Y. Lee, Huiwen Ji, Ran Cheng, "Quantum Computing and Information", 2nd Edition, Polaris QCI Publishing, 2025.

(especially, 3.5 Application to Quantum State Tomography, and Chapter12(Density Operators and Quantum Channels))

[2] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information", Version 13, Cambridge University Press, 2023.

(2.2.6 POVM measurements)

[3] John Watrous, "General formulation of quantum information" in IBM Quantum Platform Learning.
https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en/courses/general-formulation-of-quantum-information/general-measurements/introduction

SIC-POVMによる量子状態トモグラフィに関する実験

【要旨】量子状態トモグラフィは、未知の量子ビットの量子状態を突き止めるための概念である。その実現方法の一つとして、POVMがある。それは、同一の未知の量子状態を多数用意し、それらを測定することでその量子状態を明らかにする。POVMは、通常の正規直交基底への射影測定よりも広い、量子測定の一般的な枠組みである。ここではその一種であるSIC-POVMと呼ばれる測定を、1-qubitについて、IBM Quantum Computer実機で実施した。その結果、かなり高い精度で未知の量子状態を特定できることが分かった。

🟢 SIC-POVMの概要

　これは、長い名称「Symmetric Informationally Complete - Positive Operator-Valued Measure」の略称である。POVMの一般的な理論は、参考文献[1][2][3]などに示されている。特に、[3]にはSIC-POVMの詳細な説明がある。d次元の量子系では、SIC-POVMはd²個の射影演算子 E_i=|ψ_i><ψ_i|/d で構成され、次式が成立するように作られている。以下の|ψ_i>は、ブロッホ球上の純粋状態を表す状態ベクトルである。

|<ψ_i|ψ_j>|²=1/(d+1)   (i ≠ j)

　1-qubitの場合は、d=2なので、SIC-POVMは４個の状態ベクトルで構成され、そのどの２つのベクトル同士の内積の2乗も全て1/3となる。その具体例をFig.1に示す。計算を簡単にするため、４つの状態ベクトルのうち、１番目を|ψ₁>=|0>とするのが通例である。これら４つの状態ベクトルの頂点は、幾何学的に美しい、内接正４面体を構成している。

🟢 量子状態トモグラフィの実現

　未知の量子状態を突き止めるトモグラフィは、通常のZ軸測定だけでは実現できない。例えば、Z軸測定で|0>が50%、|1>が50%の確率で得られた場合、複数の候補が考えられるので、さらに、X軸測定とY軸測定を行う必要がある。

　これに対して、SIC-POVMは、４つの出力チャネルを持つ特別な測定器と考えられる。この測定器に、同一の未知の量子ビットを大量に投入すると、結果として、４つの出力に出現カウントが得られる。それらのカウントの比率（確率分布）が、"未知状態ベクトルとSIC-POVMの各頂点に対応する状態ベクトルとの重なりの度合い"を示す。すなわち、SIC-POVMの頂点iに対応する状態を|ψ_i>とすると、測定結果としての確率Piは以下のような内積計算になる。

P_i=(1/2)|<ψ_i|未知状態>|²

　そして、この確率を用いて、未知状態のブロッホ球のデカルト座標(X, Y, Z)は以下の公式で求められるのが注目すべき点である。

X=√2(2P₂ - P₃ - P₄)

Y=√6(P₃ - P₄)

Z=4P₁ - 1

🟢 Quantum Computer実機を使ったSIC-POVM測定

　特定の既知の量子状態を、未知の状態だと見做した場合、SIC-POVM測定によって、その量子状態を特定する（復元する）理論的計算は、特に問題がないであろう。しかし、それを、量子コンピュータ実機、または量子回路シミュレータで行うには少し工夫がいる。実機では、ある状態ベクトルと測定ベクトルとの内積を直接計算して確率を求めるわけではない。多数の同一の量子状態を繰り返し測定すると、各測定結果の出現頻度から、ボルンの法則により、測定確率を推定できる。

　しかしながら、一般的な量子コンピュータでは、ハードウェアが直接行える測定は計算基底（Z基底）での射影測定である。一方、SIC-POVMの4つの測定方向のうち3つは、Fig.1に示したとおり、ブロッホ球上で南半球へ向かう斜め方向にある。そこで、SIC-POVMの各測定方向がZ軸に一致するように、測定直前に適切なユニタリ演算（回転）を施す。その後に通常のZ基底測定を行うことで、そのSIC-POVM要素に対応する測定確率を得る。今回も、これに従って測定を行った。

🟢 未知量子状態と見做した２つの量子状態

　今回の実験では、Fig.2に示す２つの既知の量子状態を未知状態と見做して測定した。いずれも、ブロッホ球面にある純粋状態である。Case1では、それは赤道上にあり、位相角は0である。Case2では、南半球上にあり、位相角はπ/3である。Case1の方が、Case2よりも量子状態の特定は容易であろうと予想された。

　なお、以下の測定では、”未知の量子状態"として設定した情報（θとφ）は全く使用していない。SIC-POVMの４つの測定方向だけを使っている。従って、"真の未知状態"が入力された場合も同様に特定できる。

🟢 SIC-POVM測定による未知量子状態の復元結果

　これら２つのケースについて、QiskitシミュレータとIBM Quatnum実機（ibm_kingston）による測定結果をTable1に示す。未知状態に設定した状態のデカルト座標（X,Y,Z）が示されている。また、シミュレータと実機の測定に基づく確率が、(P₁, P₂, P₃, P₄)として示されている。それに基づいて復元したデカルト座標に注目していただきたい。実機では、予想通り、Case1の未知状態がほぼ完璧に復元できている。また、Case2の未知状態も、かなり高い精度で特定された。

【POVMに関する参考文献】

[1] Peter Y. Lee, Huiwen Ji, Ran Cheng, "Quantum Computing and Information", 2nd Edition, Polaris QCI Publishing, 2025.

(especially, 3.5 Application to Quantum State Tomography, and Chapter12(Density Operators and Quantum Channels))

[2] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information", Version 13, Cambridge University Press, 2023.

(2.2.6 POVM measurements)

[3] John Watrous, "General formulation of quantum information" in IBM Quantum Platform Learning.
https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en/courses/general-formulation-of-quantum-information/general-measurements/introduction

IBM Quantumの上級認定資格を取得（３個目）

　量子コンピューティングを探求するにあたって、理論的バックグラウンドが不足していると感じる場面が時々出てくるので、基礎を見直すことにした。その一つのテーマが「量子状態の密度行列」である。これに関する詳細なチュートリアルがIBM Quantumのwebサイトにある。"General Formulation of Quantum Information" （量子情報の一般的定式化）である。今回、そのチュートリアルを学んだ後に、認定資格（Advanced）試験を受けて合格し、認定バッチと認定証を得た。

密度行列を使う動機は以下のようなことである。

（１）従来の量子状態ベクトルよりも幅広い種類の量子状態を表現できる。これには、ノイズの影響を受ける量子系の状態や、量子状態の古典的な確率によるランダムな選択の状態も含まれる。

(2)無視したい別の系と量子もつれにある系の状態など、孤立した系の状態の記述は、従来の量子状態ベクトルでは簡単にできないが、密度行列によればそれは明快になる。

(3)古典情報と量子情報を単一の数学的枠組みで記述できる。このことから、古典情報は本質的に量子情報の特別なケースであることが見えてくる。

　このチュートリアルは、このような動機を支える理論を詳しく展開しており、若干難しい内容になっている。Qiskitコードでプログラミングしたり、量子ゲートを使って量子コンピュータ実機で動かす、などの「息抜き」もできないので、尚更である。しかし、これまで知らなかった知識を得たり、曖昧だった考え方が明確になるなど、得られたものはとても大きいと感じた。

　でも、ビジュアルにして楽しめる事項もあった。その一つを以下の図に示す。量子コンピューティングでは、量子状態はブロッホ球の表面に示される「純粋状態」の他に、ブロッホ球の内部の点に対応する「混合状態」がある。そこに密度行列が登場する。

　もう一例ある。これまでの基本的な測定は、正規直交系から決まる射影測定が使われたが、より一般的な測定もある。それは、SIC-POVM(Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measure)と呼ばるれる。下図は1-qubitにおけるSIC-POVMに対応するものである。詳細は別として、正４面体（regular tetrahedron）が、Bloch球に内接しているのが美しい。４つの頂点は、ブロッホ球面の純粋状態を表している。化学でのメタン分子の４つの水素原子も、これと同じ正４面体の頂点に配置されている。

【補足】上に述べた通り、このチュートリアルは少し（or かなり）難しい。そこで、下記の西村治道教授の書籍[1]の3.4(混合状態)、3.5(POVM)、3.6(発展的な概念)を一通り学んだ後に取り組めば、ぐんと理解が進むのではないかと思われる。

{1] 西村治道、"基礎から学ぶ量子計算"、オーム社、2022年11月.

フィボナッチ数列に基づく植物の葉の模型

A Model of Plant Leaves Based on the Fibonacci Sequence
One of the most beautiful and widely appreciated concepts in mathematics is the Fibonacci sequence. It appears in the forms and growth patterns of plants, seashells, and many other natural objects. More recently, it has even found applications in Topological Quantum Computation through the concept of the Fibonacci anyon.
    Recently, I happened to discover an item called the “Fibonacci Tree” being sold online as a desk ornament or educational toy. Although the product itself does not seem to come with a mathematical explanation, it appears to be an object whose beauty can be appreciated simply by displaying it on a desk.
    With that in mind, I would like to give a brief introduction to it below.

　古くからある、誰にも親しまれる美しい数学の一つにフィボナッチ数列がある。植物や貝類などの形態に現れる他、最近では、トポロジカル量子計算（Topological Quantum Computation）における「フィボナッチ・アニオン（Fibonacci Anyon）」にも利用されるようである。
　最近、偶然だが、ネット上で「フィボナッチツリー」なるものが、文具かおもちゃとして発売されているのを知った。数学的な説明などはないが、机上において美しさを味わうことができるように思う。そこで、以下の通り、簡単にご紹介します。

　ところで、この黄金角の元になっている黄金比が、調味料の配合にも！
下図の通り、２種類の唐辛子の割合が黄金比だと謳っている！ラベルの色も黄金！

IBM Quantumの教室アカウントの取得が可能に！

New Classroom Accounts expand quantum access for educators

　IBM Quantumは、大学や高校での量子コンピューティングを後押しするため、教室で、IBM量子コンピュータ実機へのアクセスを容易にするサービスの提供を始めた。これは素晴らしい！申請する教授や教員が次第に増えてくるのではないか！

詳細は下記にあります。

https://www.ibm.com/quantum/blog/classroom-accounts

さらに、具体的に学ぶための機会やリソースも提供しています！

🟢IBM Quantum Education Day（量子コンピューティング教育の日）

https://www.youtube.com/watch?v=ORWYHe0hWL0

🟢Qiskit Global Summer School（量子コンピューティング夏の学校）

https://www.ibm.com/quantum/blog/qiskit-summer-school-2026

Standalone Quantum Circuit Simulators Running on Mobile Phones

Abstract
Full-featured quantum circuit simulators such as Qiskit and Cirq are widely used in the quantum computing community. However, I wanted a quantum circuit simulator that could be used like a pocket calculator—something I could quickly pull out anytime and anywhere, without requiring an internet connection. Several years ago, I developed the app described in [2] for this purpose. Using it, I was able to experiment with many of the basic examples commonly found in introductory quantum computing textbooks, and I still find it extremely useful today.

Recently, I discovered that a similar simulator is also available: the product developed by Codexus Technologies [1]. In this article, I briefly compare the two simulators through several example problems, focusing on usability and design philosophy. Exploring the ideas behind each simulator is both interesting and enjoyable.

🟢 Standalone Quantum Circuit Simulators
Both simulators run entirely on an Android smartphone without requiring any user configuration or internet connection. Like using a calculator, users can immediately experiment with basic quantum circuits whenever they wish. Their main features are summarized below.

• Codexus Technologies App [1]
The app features an attractive and polished user interface. A wide range of fundamental quantum gates is available, and circuits of up to five qubits can be simulated. Users build circuits graphically by placing gates through the GUI, so no text-based programming is required. 

Simulation results are obtained from 1,024 measurement shots and displayed both as a histogram and as a textual state vector (probability amplitudes). The development environment used to create the application is not publicly known.

• Fujio Yamamoto's App [2]
This simulator consists of two versions: a single-qubit simulator and an n-qubit simulator. In the single-qubit version, users can apply quantum gates interactively through a graphical interface, and the state vector is visualized on a three-dimensional Bloch sphere. The n-qubit version accepts circuits in a text-based format similar to IBM's QASM language. 

Simulation results are displayed both graphically (using a disk representation) and in textual form as state vectors. Created circuits can be saved with a button press and later reloaded for further editing. The application was developed efficiently using MIT App Inventor, although much of the complex-number arithmetic is implemented in embedded JavaScript code.

🟢 Comparing Usability Through Example Problems
The purpose of this comparison is not to determine which simulator is superior. Rather, it is to explore the design philosophy behind each application and understand how their creators approached the challenge of building a quantum circuit simulator. Examining these differences is both informative and enjoyable. Let us try the following three examples on each simulator.

(1) Applying X and H Gates Sequentially to a Single Qubit
In the Codexus app, as shown below, the interface is highly polished and intuitive. Users simply place quantum gates one after another. Pressing the "Simulate" button automatically performs 1,024 measurement shots and displays both the state vector and histogram, making the results easy to understand.

The Fujio app also applies quantum gates through a graphical user interface. Its most distinctive feature is the visualization of the state vector on a 3D Bloch sphere. The probability amplitudes are additionally displayed as complex numbers in the lower section of the screen.

(2) Creating a GHZ State with Three Qubits
In the Codexus app, the configuration of CNOT gates is particularly well designed. First, the user selects the control qubit. The simulator then highlights the candidate qubits where the target NOT gate can be placed, allowing the user to complete the operation simply by tapping the desired qubit. The simulation output correctly shows that only the states 000 and 111 occur, confirming the presence of quantum entanglement.

In the Fujio app, quantum gates are specified using a text-based description. Because the circuit can be edited directly, the approach offers a high degree of flexibility. In addition, several example circuits are built into the application, allowing users to load and execute them immediately with a single button press. Simulation results are displayed on a disk diagram showing both probabilities and phases, providing an intuitive and user-friendly representation.

(3) The Mermin–Peres Magic Square Using Four Qubits
This example is somewhat more sophisticated than the previous two. It demonstrates a remarkable form of quantum "magic" that makes clever use of entanglement. Readers interested in the details are referred to [3].

In the Codexus app, circuits containing many gates can still be configured conveniently by scrolling horizontally across the screen. The output correctly shows that only eight of the sixteen possible four-qubit basis states appear, each with approximately equal probability.

At this point, I do have one feature request: for circuits of this length, it would be very useful to save the circuit and reload it later for further editing. I hope this capability will be added in a future version.

As with the previous examples, the Fujio app represents the circuit textually. The simulation results are displayed on the right side of the figure, where the probability and phase associated with each basis state are shown graphically on a disk diagram. The results are easy to interpret and match those produced by the Codexus simulator exactly.

Some readers may notice a small difference. For example, Codexus reports an amplitude of −0.354 for 0001, whereas Fujio reports −0.354 for 1000. This discrepancy is simply due to a different ordering convention for qubit indices. In other words, it reflects the difference between the conventions commonly used by Google Cirq and IBM Quantum.

(4) Calculation of 7k mod 15 (where k=8)
This example appears as part of quantum phase estimation (QPE). Here, we have a simple example of "7k mod 15". We have confirmed that the answer is 11 when k=8.

In Codexus, this is implemented using swap gates. The simulation result shows that the probability amplitude of |1101> is 1.0. This means that the answer is 1011 in classical binary and 11 in decimal. The bit order is as explained in example (3).

Fujio's result needs no explanation.

(5) 4-qubit QFT without swap
This example is a quantum Fourier transform (QFT) using 4 qubits. Unfortunately, it seems that Control Phase, Control S, and Control T are not available in the Codexus app. Therefore, it was not possible to create a quantum circuit for the QFT.

On the other hand, in the Fujio app, the following result can be obtained using the Control Phase gate.

Subsequently, applying the inverse quantum Fourier transform IQFTx (lowercase x means no swap) was confirmed to return to the state before applying QFTx, |1111>, as shown in the following figure.

🟢 Conclusion
Both the Codexus app and the Fujio app have their own strengths and distinctive features. They are enjoyable, convenient, and easy to use. As standalone quantum circuit simulators that run directly on Android mobile phones, they provide an accessible way to explore the fundamentals of quantum computing.

Such tools could serve as valuable educational resources for introductory quantum computing courses at both the high school and university levels.

References
[1]Quantum Circuit Simulator by Codexus Technologies (Sri Lanka)
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.codexustechnologies.quantumcircuitsimulator&hl=en-US

[2] Redesigned Mobile Quantum Circuit Simulators by Fujio Yamamoto
https://sparse-dense.blogspot.com/2024/08/redesigned-mobile-quantum-circuit.html

[3] Mermin-Peres Magic
Exploring Quantum Entanglement through Visualization
https://sparse-dense.blogspot.com/2025/05/exploring-quantum-entanglement-through.html