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🟢4-qubit(a,b,c,d）の２種類の純粋状態について考える
以下の2つの場合について考察する。① もつれのない純粋状態と、② 完全にもつれた純粋状態、である。
① 量子もつれのない純粋状態
各 qubit が独立な状態として、例えば次のような状態\(|\psi\rangle\)を考える。 $$ |\psi\rangle = |0\rangle_a \otimes |1\rangle_b \otimes |0\rangle_c \otimes |1\rangle_d $$ 全体密度行列は、 $$\rho_{abcd} = |\psi\rangle \langle \psi| =|0101\rangle \langle 0101|$$である。 この状態は積状態（product state）であり、qubit a は他の qubit と全くもつれていない。
部分トレースを行う。システムbcd（aを除いた）をトレースアウトすると、$$\rho_a = \mathrm{Tr}_{bcd}(\rho_{abcd}) $$ $$ = \sum_{x=000}^{111} {}_{bcd}\langle x| \left( |0\rangle\langle0|_a \otimes |101\rangle\langle101|_{bcd} \right) |x\rangle_{bcd} $$ この結果、部分系 a の密度行列は以下の通りとなる。 $$\rho_a = |0\rangle \langle 0| = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$ 純粋状態か混合状態かを調べる。純粋状態である条件は以下の通りであり、実際それは成立する。 $$ \rho_a^2 =\rho_a $$ したがって、部分系 a は純粋状態である。
② 完全にもつれた純粋状態
以下の4 qubit の GHZ 状態を考える。これは、4 qubit全体で完全にもつれた純粋状態である。 $$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0000\rangle + |1111\rangle\right) $$
全体系の密度行列\(\rho_{abcd}\)は以下の通りとなる。 $$\rho_{abcd} = |\psi\rangle \langle \psi| $$ $$ =\frac{1}{2}\Big(|0000\rangle\langle0000| + |0000\rangle\langle1111| + |1111\rangle\langle0000| + |1111\rangle\langle1111|\Big) $$ ここで、上記の①の場合と同様に、bcdを部分トレースし、以下のようにaに関する部分密度行列\(\rho_a\)を計算する。 $$\rho_a = \mathrm{Tr}_{bcd}(\rho_{abcd}) $$ この部分トレースを行うと以下の交差項は消える。 $$ |0000\rangle\langle1111|, |1111\rangle\langle0000|$$ その結果、aに関する部分密度行列は以下のようになる。 $$\rho_a = \frac{1}{2}\left(|0\rangle\langle0| + |1\rangle\langle1|\right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ 純粋状態か混合状態かであるが、この部分密度行列については、以下のように、純粋状態の条件を満たさない。すなわち、 $$ \rho_a^2 = \left(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right)^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \neq \rho_a $$ したがって、部分系 a は混合状態である。
🟢結論（純粋状態か混合状態か）
量子もつれのない積状態では部分系も純粋状態となる。一方、もつれた純粋状態では、全体系は純粋状態であっても、部分系は混合状態となる。これは量子もつれの本質的特徴の一つであり、「全体系の情報は完全でも、部分系だけを見ると統計的混合に見える」という現象を示している。これは興味深いことである。
🟢補足（テンソル積関係の公式）
上に述べた、全体の密度行列を、トレースアウトして、部分密度行列を算出する手順は省略したが、実はこの計算は、テンソル積、外積、内積が絡み合っているので戸惑った。しかし、以下の公式を思い出すことによって、計算することができた。特に、最後の公式は見逃しやすく、とても重要と思うので掲載しておきたい。
$$ \begin{align} (A\otimes B)(|x\rangle\otimes|y\rangle)=(A|x\rangle)\otimes(B|y\rangle)\\ (\langle a|\otimes\langle b|)(|c\rangle\otimes|d\rangle)=\langle a|c\rangle\langle b|d\rangle \\ (|a\rangle\langle c|)\otimes(|b\rangle\langle d|)=|ab\rangle\langle cd|\\ \sum_i |i\rangle\langle i|=I\\ {}_{\mathbf{Y}}\langle \psi|(|a\rangle_\mathbf{X}\otimes |b\rangle_\mathbf{Y})=|a\rangle_\mathbf{X} \,{}_{\mathbf{Y}}\langle \psi |b\rangle_\mathbf{Y}\\ \end{align} $$ 最後の公式は、部分系Yに属するブラは、その部分系Yのケットにだけ作用することを意味する。また、以下のようにみなすと、最後の公式は、上から２番目の公式の特別の場合であることが分かる。 $$ {}_{\mathbf{Y}}\langle \psi| =I_\mathbf{X}\otimes {}_{\mathbf{Y}}\langle \psi| $$
🟢純度(purity)と量子もつれの強さ
上記に、「①もつれのない純粋状態」と「②完全にもつれた純粋状態」について述べたので、「純粋状態の程度を示す純度(purity)」と「もつれの強さ」との関係を確認しておきたい。本来、この両者は物理的には異なる概念のようである。しかし、次のような関係がある。
「全体系が純粋状態である場合、部分系のpurityは、その部分系とそれ以外の残り（環境系）との間のもつれの強さの指標となる。部分系のpurityが１よりかなり小さい場合、その部分系とそれ以外の部分との量子もつれはかなり強いと言える。上記②はその一例である。」
🟢密度行列の固有値
ここまでは、密度行列の固有値に関しては触れなかったが、これは重要なので追記する。
（🍊だが、間も無く🍅ます。）
🟢参考資料
密度行列と部分トレースに関して、以下の資料を参考にさせていただいた。
密度行列と部分トレースに関して、以下の資料を参考にさせていただいた。
[1] Leonard Susskind & Art Friedman, Quantum Mechanics - the Theoretical Minimum, Penguin Books, 2014, (mainly)Lecture 7.
[2] 嶋田義皓, 量子コンピューティング, オーム社, 2023, pp.51-52.
[3] 西村治道, 基礎から学ぶ量子計算, オーム社, 2022, pp.87-97.
[4] ChatGPTおよびGoogle Geminiを介しての調査結果
