Bell回路の時間発展アニメーション

Time Evolution of the Bell Circuit

🔴概 要
　前報（→こちら）では、１量子ビットに対するアダマール変換が、シュレディンガー方程式を利用した時間発展と等価であることを知った。今回は、２量子ビットで量子もつれを生じさせるBell回路を対象として、同様の考察を行った。多くの量子コンピューティングの書籍では、１番目の量子ビットにアダマール変換を施し、次に２つの量子ビットにCNOTを施すと、瞬時に量子もつれ状態になると説明されている。だが、そこへ至るまでの時間発展を観察することは、量子力学を少し深く知ることに繋がり、量子コンピューティングを学ぶ上で有用であろう。

In the previous post, we learned that the Hadamard transformation applied to a single qubit is equivalent to time evolution governed by the Schrödinger equation.In this study, I extended that idea to a two-qubit system — the Bell circuit, which generates quantum entanglement.

In many quantum computing textbooks, it is explained that if we apply a Hadamard gate to the first qubit and then a CNOT gate to the two qubits, the system instantly becomes an entangled Bell state. However, observing how the system evolves in time toward that entangled state provides deeper insight into quantum mechanics itself. Such an approach can be highly valuable for anyone learning quantum computing, as it connects the abstract circuit model with the underlying physical process of quantum evolution.

🔴Bell回路の時間発展の観察

　下図の下段には、Bell回路のシミュレーションのスナップショットが示されている。左側は、アダマール変換を施した結果を、右側にはその後CNOTを施した結果である。一方、上段のグラフは、Bell回路に対応するハミルトニアンを時間発展させた結果である。シミュレーションの前半と後半に分けて、４つの基底|00>, |10>, |01>, |11>それぞれの測定確率を描いている。

　詳細は略すが、前報同様に、アダマールゲートとCNOTゲートそれぞれに対応するハミルトニアンを時間発展させている。完了時間も、前報と同様に設定されるが、ここでは、前半と後半がそれぞれ換算時間が1.0となるようにしてある。経過時間1.0では、シミュレーションの結果と同じく、|00>と|01>がそれぞれ確率0.5で出現することがわかる。また、経過時間２.0では、量子もつれを意味する結果が得られている。すなわち、|00>と|11>の確率がそれぞれ0.5に置き換わっている。

　さらに、上記のことを見やすくするために、アニメーションも作成した。

　

　なお、3-qubitがGHZと呼ばれる量子もつれに至る状況も同様に描くことができた。つまり、|000>を初期状態として、適切なハミルトニアンの時間発展で (|000>+|111>)/√2の状態に至る過程は以下のようになる。

アダマール変換のアニメーション

---------（その後、Bell回路についても同様の考察をここに書きました。）--------

🔴目 的

　量子ゲートは、一部の例外を除き、ユニタリ演算（行列演算）である。量子コンピュータでは、それはどのように実現されるのだろうか。詳細レベルでそれを示すことはできないが、シュレディンガー方程式 (Schrödinger Equation)を利用すれば、その動作の流れが分かる。ここでは、最も重要な量子ゲートの一つであるアダマール(Hadamard)ゲートを例として、その動作をアニメーションで確かめてみよう。

🔴アダマールゲート

　アダマールゲートHの適用効果は、量子シミュレータや実機で見ることができる。例えば、量子の初期状態が北極の状態 |0> であるとする。それに対するアダマールゲートの適用とは、Fig.1に示した行列Hを初期状態ベクトルに掛けることである。その結果 H|0> は、ブロッホ球の赤道とX軸の正方向の交点で表される、|0>と|1>の均等な重ね合わせ状態となる。その操作は一瞬の出来事のように見える。だが、そこへ至る経過を観察してみよう。

🔴ハミルトニアンの時間発展

　実は、時間依存シュレディンガー方程式に基づいて、以下のことが広く知られている。

「量子ゲートの機能は、量子状態をある規則に従って一定時間だけ変化させることで実現される。」

　この「状態の変化の規則」を決めるのがハミルトニアンHamiltonianである。量子ゲートの世界では、量子状態の変化は、量子をある回転軸で回転させることで生ずる。その回転軸と回転の強さ（回転速度）の情報をハミルトニアンに持たせている。そして、一定時間Tは、T= π/Ωという値で決まる。このΩは、システムの駆動強度に対応する角周波数（ラジアン毎秒）である。従って、Ωの値が非常に大きければ、量子ゲートの動作は一瞬にして終わることになる。それでは、次に、この時間Tに至るまでの動作アニメーションを見てみよう。

🔴ハミルトニアンの時間発展に伴う量子状態変化のアニメーション

　上記の時間Tまでの量子状態の変化を示そう。Fig.2は初期状態 |0> の場合であり、Fig.3は |+> の場合である。例えば、<σ_x>は、刻々変動する量子状態におけるパウリ演算子σ_xの期待値（測定される固有値の平均）を意味するが、実際には、ブロッホ球上のx座標値と考えて良い。<σ_y>, <σ_z>についても同様である。

　Hamiltonian(注1)の式の右辺にある(σ_x + σ_z)/√2は、パウリ演算子だが実はベクトルとみなすことができ（(注1), (注2)）、回転軸の方向を指している。Fig.2では、x座標は0→1へ、z座標は1→0へ変動している。σ_yはハミルトニアンの式には現れないが、y座標も変動している。

Fig.2 Changes in x, y, and z coordinates when applying the Hadamard gate to the initial state |0>

Fig.3 Changes in x, y, and z coordinates when applying the Hadamard gate to the initial state |+>

　Fig.4は、Fig.2とFig.3の結果をブロッホ球上に表示したものである。これにより、アダマールゲートとは、x軸とz軸の中間45度の傾き方向を軸として、反時計回りにπ（180度）だけ回転させる機能であることが確認できた。繰り返しになるが、それは、時間発展をT=π/Ω進めた時点での状態となる。なお、回転軸を示す、大文字のX, Yはそれぞれパウリ演算子σ_xとσ_zに対応する。

Fig. 4 Display of Fig. 2 and Fig. 3 on the Bloch sphere

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（注1）少し紛らわしいが、ここでは、アダマールゲートをHとし、ハミルトニアンはHの上にハット記号を載せている。

（注2）期待値 <σ_x> = <ψ|σ_x|ψ>は、ブロッホ球上での量子状態 |ψ> のx軸方向の成分を表す。

（注3）パウリ演算子σ_x（行列）は、ブロッホ球のx軸方向の単位ベクトルでもある。これは少し紛らわしいが、量子力学では常用されていることである。

（注4）ここでは、換算プランク定数を1とする、自然単位系をつかうとする。

（注5) Fig.1は、MIT App Inventorで作られた量子回路シミュレータである。また、Fig.2〜Fig.4のアニメーションはChatGPTを利用して作成した。

Schrödinger Equation and Quantum Computing

Questions About Quantum Computing

As you progress in your study of quantum computing, the following questions will likely arise. This article explores these points in more detail.

1. In most books and resources on quantum computing, the Schrödinger equation—which forms the foundation of quantum mechanics—rarely appears explicitly. Why is that?

2. In quantum circuits used to implement quantum algorithms, the order in which quantum gates are applied is crucial. But is it really acceptable to ignore the execution time of each quantum gate?

   

   ---> For more information, please see this pdf file.

   
   

Schrödinger方程式と量子Computing

🔴量子コンピューティングに関する疑問

　量子コンピューティングをある程度進めて行くと、以下の疑問が湧くであろう。本稿ではこれを検討する。

1. 量子コンピューティングの書籍等では、量子力学の基礎を与えるSchrödinger方程式がほとんど表に出てこない。それは何故か？
2. 量子アルゴリズムを実装する量子回路において、量子ゲートの適用順序は重要だが、各量子ゲートの実行時間は考慮しなくて良いのか？

→→→ 続きはこちらのpdfファイルをご覧ください。