Surface codeによって２つの量子ビットの誤りを訂正する

Correcting Errors on Two Qubits with the Surface Code

This article builds on my previous discussion of the surface code for quantum error correction. I explore the relationship between the number of physical qubits (hereafter simply called “qubits”) used to encode one logical qubit and the error weight—the number of qubits affected by errors—for which correction is guaranteed. For example, under ideal conditions, a 25-qubit (5 × 5) surface code can correct errors affecting any two qubits and restore the original logical state. I also confirm that when two different two-qubit error patterns produce the same syndrome, the same correction can restore the original logical state in either case.

【要旨】量子誤り訂正符号Surface codeに関する前回の記事を少し深めた。今回は、１論理量子ビットを構成する物理量子ビット（以後、単に量子ビットと呼ぶ）の個数と、誤り訂正が保証できる誤りの重み（個数）の関係を調べた。例えば、25(=5x5)量子ビットの場合は、「２ヶ所の量子ビットに誤り」が生じても、それを訂正して正常な論理量子ビットの状態を回復できる。その際、シンドロームが同一となる別の「２ヶ所の量子ビットに誤り」が生じた場合でも、どちらかの「２ヶ所の量子ビットに誤り」を訂正すれば良いことも確認した。

🟢符号距離と誤りの重み

　符号距離と、誤り訂正を保証できる「誤りの重み」との関係をTable 1に示した。（簡単に言えば）符号距離dは、量子ビットを正方形に並べた場合の縦に置かれた個数である。誤りの重みは、誤りを起こす量子ビットの個数である。ここでは、d=5の場合を考える。

　とにかく何処かに誤りが生じたことを検知できるのは、誤りの重みwが4以下の場合である。また、誤りの訂正を保証できる誤りの重みは２以下であることが示されている。

🟢２つの量子ビットが誤りを起こす場合のシンドローム

　具体例として、２つの量子ビットが誤りを起こす、Fig.1に示す３つのケースを調べた。

Case-1: q7にX誤り、q19にY誤り

Case-2: q9にZ誤り、q10にZ誤り

Case-3: q14にZ誤り、q15にZ誤り

　Case-1では、16個のstabilizerのうち、A1, A3, A6, A8, B6, B8の６個の測定結果がマイナス（-）であり、それ以外のstabilizerはプラス（+）を与えている。このパタンは、上に示した誤りの位置と種類を一意に示すものである。従って、これらの誤りは訂正できる。

　Case-2とCase-3では、両方とも、stabilizer B4の測定結果のみがマイナス(-)であり、他の測定結果はプラス(+)である。従って、シンドロームを観察しても、どちらのCaseの誤りなのか判断できない。そのため、誤り訂正を施すことはできないように思われる。
　しかし、実は、それはどちらでも良いのである。つまり、どちらかのCaseを想定して誤り訂正を行えば、論理量子ビットの正常な量子状態|ψ>を回復できるのである。その計算を簡単に以下に示す。

Case-3の方を選び、その誤りをEaとすると、

    Ea  = Z₁₄Z₁₅

その誤りを訂正する演算をRとすると、以下のように訂正できる：

　R = Z₁₄Z₁₅ = Ea,  REa|ψ⟩ = I|ψ⟩ = |ψ⟩

一方、Case-2の誤りをEbとすると、

　Eb = Z₉Z₁₀

　REb = Z₁₄Z₁₅Z₉Z₁₀ = Z₉Z₁₀Z₁₄Z₁₅

となるが、実はこれは、stabilizer A4であるので、

　REb|ψ⟩ = A4|ψ⟩ = |ψ⟩

　つまり、選んだ誤り訂正Rによって、Case-2とCase-3のどちらの場合であっても論理量子ビットの状態が回復されるのである。これは、繰り返しになるが、誤り訂正の演算がstabilizerになったことが効いている。

🟢感 想

　すでに知られていることだが、以下のことを改めて確認できた。すなわち、量子誤り訂正が目指しているのは、「どの量子ビットにどのようなエラーが生じたか」を完全に知ることなく、元の正常な量子状態を取り戻すことである。それが、（理想的な条件下での）Stabilizerに基づく誤り訂正の真髄なのであろう。