Holding the Quantum State of the Mermin-Peres Magic in the Palm of Your Hand

In my previous posts [here] and [here], I introduced the Mermin-Peres Magic Square. While there’s nothing particularly new in this post, I wanted to explore what it feels like to literally hold a quantum state in the palm of my hand. It’s just a plastic sphere I made as a hobby, but it gives me a more tangible sense of what a 4-qubit quantum state might be like.

Quantum state in the palm of my hand

For the corresponding quantum circuit and a detailed explanation, please see [here]. There’s no need to explain Figure 1—if you hold this ball in your hand, you’ll understand the depth of it...

From the initial state, through the generation of entanglement, to the final quantum state—it’s all captured inside this sphere! At first, I thought the 3D rendering from Qiskit’s QSphere would be enough. But once I actually built this physical model and held it in my hand, I realized it offered a somewhat different experience.

Fig.1 Quantum state of Mermin-Peres Magic (4-qubit)

可視化で量子もつれの理解を深める

【要旨】量子もつれを利用した例題の一つにMermin-Peres Magicがある。関連記事は過去にも書いてきた。（ここです）今回は、ビジュアル化によってさらに理解を深めたいので、量子状態の表示と分析を４通りの方法で行なってみた。①自作シミュレータでの円盤表示、②QiskitのQsphereによる3D表示、③パウリ相関測定、④IBM Quantumマシンによる実測である。

🔴例題Tiny Mermin-Peres Magic

　この例題の説明はここ示した。Fig.1に示す通り、AliceとBobはそれぞれ２量子ビットを保有している。両者の量子ビット対は、前半で量子もつれの状態 ǀψ₁⟩となる。それ以降は両者のインタラクションは無い。それにもかかわらず、最終状態 ǀψ₂⟩を測定すると、（後でFig.2やFig.3に示すように）両者に強い相関が見られる。すなわち、両者の測定結果の古典２ビット列に含まれる"1"の個数は、必ずどちらかは偶数個であり、他方は奇数個になる。いわば逆向きの強い相関である。

🔴自作量子回路シミュレータによる確認

　この例題の動作を、自作の量子回路シミュレータで確認した結果をFig.2に示す。起こり得る基底状態の確率と位相が円盤に表示される。また、確率振幅、確率、位相の数値リストも表示されている。

　例えば、量子状態 ǀψ₁⟩では、Aliceがǀ00⟩ならばBobは必ずǀ11⟩となる。最終状態 ǀψ₂⟩では、例えば、Aliceがǀ00⟩ならばBobはǀ01⟩か又はǀ10⟩となり、上述した測定古典ビットでの"1"の個数が偶数か奇数も確認できる。すなわち、この円盤表示から、両者の量子もつれの状況を掴むことができる。

🔴QiskitのQsphereによる量子状態の3D表示

　量子もつれ状態は、個々の量子ビット状態に分離できないので、Bloch球に個別に量子状態を表示することはできない。しかし、QiskitのQsphereを利用すると、Fig.3に示す通り、起こり得る基底状態を同時に球面に表示することができる。ここで、量子状態ベクトルの先端の円の大きさは確率の値であり、色は位相を示す。Fig.2の円盤表示と良く合致している。

🔴パウリ相関による量子もつれの強さの表示

　量子もつれ状態をさらに詳しく調べる方法の一つはパウリ相関測定である。これは、例えば、量子状態 ǀψ⟩をZ軸測定した場合の期待値が以下のように計算されることに基づく。

⟨ZZ⟩ = ⟨ψǀ Z⊗Z ǀψ⟩

　一例として、ǀψ⟩ = (ǀ00⟩+ǀ11⟩)/√2というベル状態の場合は、計算してみると、⟨ZZ⟩ =1となる。これは２つの量子ビットのZ測定結果が確実に同じ方向になる相関を意味する。一方、ǀψ⟩= ǀ01⟩という単なるテンソル積ならば、⟨ZZ⟩ = -1となり、逆向きの強い相関を示すが、量子もつれではない。

　Fig.4では、Z測定に加えて、X測定とY測定も行なっている。上記のような各パウリ測定は、相関を計算できるが、必ずしも「量子もつれ」を完全に反映したものではない。そのため、場合によっては、Z測定以外の測定を行うことがある。

　Fig.4の横軸のZZ(q2,q3) は、Bobの量子ビット状態に対する⟨ZZ⟩ であり、縦軸のZZ(q0,q1) は、Aliceの量子ビット状態に対する⟨ZZ⟩ である。そして、その交点に示された正方形の色は、それらの値（期待値）の積を表現している。濃い赤色ほど+1に近い。

　状態 ǀψ₁⟩においては、Aliceの２量子ビットのZ測定結果が同一方向ならば、Bobの2量子ビットのZ測定結果も同一方向となる。あるいは、AliceとBobのZ測定結果は、ともに異なる方向となる。そのような強い相関が、⟨XX⟩ と⟨YY⟩ でも観測されるので、両者は完全なもつれ状態にあると言える。

　一方、状態 ǀψ₂⟩では、２量子ビットのZ測定結果は、AliceとBobのどちらかでは同じ方向となり、他方では異なる方向となる。したがって、Fig.4の右側の図の正方形は濃い青色（期待値の積は-1）になることは納得できる。

　

🔴IBM Quantum コンピュータ実機での測定結果

　最後に、IBM Quantum実機での測定結果をFig.5に示す。最新鋭機の一つibm_torino（Heron r1）で、10,000 ショット実行した結果である。量子状態 ǀψ₁⟩と ǀψ₂⟩での測定とも、若干のエラー（ノイズによると思われる）が生じているが、Fig.2、Fig.3、Fig.4で示した計算結果をよく裏付ける結果となっている。量子コンピュータが、ここまで進歩してきたことに改めて驚く次第である！

Reduction of error occurrence in IBM quantum computer (Heron processor)

Theoretically, the success rate of Mermin-Peres magic, a 4-qubit application using quantum entanglement, is 100%. When this was executed on ibm_torino (Heron r1), the success rate was 92% due to errors caused by noise. This is a big improvement from the 86% success rate on ibm_brisbane (Eagle r3) a while ago. The reason for this is that the error rate was 14% on ibm_brisbane, but was reduced to 7.9% on ibm_torino. Figure 1 shows the details.