量子状態の内積と量子回路の測定

⭕️はじめに

　ベクトルの内積は高校数学でも習います。機械学習などにおいても、２つのベクトルの類似度の計算としてよく出てきます。量子の世界、つまり量子状態ベクトル（以降、簡単のために単に量子状態と呼ぶ）についても内積は極めて重要です。ここでは、量子状態の内積に関する基本事項を復習します。具体的に手計算してみます。

⭕️量子状態の内積を回路の測定から推定（Swap Test）

　二つの量子状態|ψ>と|φ>について、以下の式が成り立つことを示すことが狙いです。左辺は、内積の絶対値の２乗であり、右辺のP(0)は、下図に示す量子回路において、ancilla（補助）ビットを測定した場合の|0>の確率です。

$$|⟨ψ∣ϕ⟩|^2=2P(0)−1$$

| <ψ |φ> |² = 2P(0) -1

　ancillaは最上段の１量子ビットです。また、|ψ>と|φ>の量子ビット数は任意ですが（swapするため）両者で同一である必要があります。

（１）量子状態を計算する 

---これ以降は、→こちらのpdfファイルでご覧ください。（Bloggerでは、LaTex数式の取り扱いが少し面倒なため）---