量子誤りの離散化（Discretization of Errors）を簡単な例で確認する

【要旨】量子誤り（エラー）は、ビット反転（bit-flip）と位相反転（phase-flip）、およびその両方、だと言われる。例えば、bit-flipとは、量子状態（α|0>+β|1>）が、α|1>+β|0>に変化してしまうことである。つまり、確率振幅α、βが入れ替わる。しかし、α→α'、β→β'のように変わってしまうエラーはないのだろうか。別の言い方をすると、極角θや方位角φの意図しない任意の変化もあるだろう。もしも、そうだとすれば、その検出と訂正はどのように行われるのか？その答えは、誤りの離散化（Discretization of Errors）にあるようだ。これを、簡単な例で確認しよう。

🟢誤りの離散化（Discretization of Errors）の概要
　量子誤り訂正では、「誤りの離散化」により、一般的な１量子ビットの誤りを、誤り無し（I）、ビット反転（パウリX）、位相反転（パウリZ）、ビット反転と位相反転の両方（パウリY）に対応する成分として扱うことができる。ここでの「扱う」とは、これらの成分に対応する訂正で、元の論理状態を回復できるという意味である。

　符号化された状態（ここでは、q1,q2,q3の３-qubit構成とする）の q1にだけ Rx(θ) による誤りが生じると、"元の状態の成分"と"q1がビット反転した成分"とが重ね合わさる。（→以下の具体例参照）この２つの成分が、異なるシンドロームを持つ場合、シンドローム測定によって、どちらの成分が残ったかが分かる。ビット反転した成分が残れば、q1に X をかけて元の状態に戻せる。

　また、q1に Rz(θ) による誤りが生じた場合も、元の成分と位相反転した成分が、異なるシンドロームを持てば、同じように区別できる。位相反転した成分が残れば、q1に パウリZ演算をかければ元の状態に戻せる。より一般に、１量子ビットの誤りを記述する各演算は、I、X、Y、Z の線形結合で表せる。Y は、全体位相を除けば、ビット反転と位相反転を組み合わせた作用に相当する。

🟢誤りの離散化の具体例

　繰り返しになるが、誤りの離散化は、簡単に述べると、量子ビットの意図しない状態変化、すなわち、極角θや方位角φの任意の変化による誤りを、シンドローム測定によって、いくつかの決まった訂正演算で扱えるようにする。以下の具体例でそれを確認しよう。

1量子ビットの保存したい状態|ψ>を、３個の物理量子ビットq1,q2,q3に符号化する。

    |ψ>=α|0>+β|1>　→　|ψ_L>=α|000>+β|111>

今、q1にだけ、意図せずに極角に回転Rx(θ)が加わったとすると、以下のようになる。

    Rx(θ)|000> = (cos(θ/2)|0> -i sin(θ/2)|1>|00>

    Rx(θ)|111> = (cos(θ/2)|1> -i sin(θ/2)|0>|00>

したがって、

    Rx(θ)|ψ_L> =

      cos(θ/2)(α|000> + β|111>)   -----  (a)

    -i sin(θ/2)(α|100> + β|011>)   -----  (b)

　ここで、(a)は元の符号状態の成分であり、(b)はq1がビット反転した成分である。つまり、２つの成分が、一つの量子状態の中で重ね合わせになっている。この状態で、２つのstabilizers (Z₁Z₂とZ₂Z₃)を測定すると、その結果として得られるシンドロームの組によって、以下のように、どちらの成分が残るかが分かる。もしも(b)の方であれば、q1にパウリXを施せば元の状態に戻る。

(a) α|000> + β|111> ⇔  シンドローム(Z₁Z₂, Z₂Z₃)= (+1, +1)

(b) α|100> + β|011> ⇔  シンドローム(Z₁Z₂, Z₂Z₃)= (-1, +1)

すなわち、

・シンドローム測定により、どちらの成分が残ったかが分かる。これが、誤りの離散化。

・ビット反転した成分(b)が残れば、パウリXで訂正できる。

・αとβの重ね合わせのまま、シンドロームにより訂正に必要な情報が得られる。また、回転角θの値を見る必要がない。