"Quantum Computing for Everyone" 再訪1-測定と基底

[要旨]数ヶ月前に、"Quantum Computing for Everyone" by Prof. Chris Bernhardtを、最後まで読み終えた。だが、そのままにしておくと記憶が薄れてしまうので、再度最初から学び直し、頭に定着させることにした。前回見落としていたこと、新たに分かったことも出てきた。名著であることを再認識している。本記事では、（量子もつれの前段の）電子のスピン、光子の偏光、量子ビット、順序付き正規直交基底、重ね合わせ、測定の考え方等を、独自のイラスト中心にまとめて復習とした。（続編も書く予定である。）

その後[補足1][補足2]][補足3]説明を追加した。2023-05-01

■Quantum Clock

　これは、全くヘンテコな時計だ。見ることも、何時かを聞くこともできない。できるのは、例えば、"12時ですか？”のように問うことだけである。その答えは、"はい、12時です"、または、"いいえ、6時です”のいずれかになる。Fig.1で簡単に説明する。"12時ですか？”の答えが来た後に、再度同じ質問をすれば、全く同じ答えが返ってくる。すなわち、２回とも、"はい、12時です"、となるか又は２回とも、"いいえ、6時です”のいずれかとなる。だが、２回目の質問を、"3時ですか？”に変えると、その答えは、"はい、3時です"、か又は、"いいえ、9時です”のいずれかになる。

　この量子時計なるもの、何かの役に立つのか？Yesなのである。この後に示す「電子のスピン」や「光子の偏光」を測定する場合と全く同じなのである。すなわち、"XX時ですか？" は、量子をXX方向で測定することに相当するのである。

■電子のスピンの測定（measuring spin of electrons）

　古典ビットには、"測定"という概念はない。だが、量子ビット（qubit）は、測定することによってはじめてその値が決まる。有名なStern-Gerlachの実験を模倣した、電子のspinの測定イメージをFig.2に示す。測定装置（apparatus）の向きが重要であることを示したものだ。

　この状況を説明する数学モデルをFig.3に示す。図は連続して計測するケースだが、その向きが異なる場合を説明している。測定器の向きとそれに対応する順序付き正規直交基底（ordered othonormal bases）の関係は、量子コンピューティングのおける最も重要な基本事項の一つであろう。

■光子の偏光の測定（measuring polarization of photons）

　光子の偏光を測定する場合、上記のStern-Gerlachでの磁石を用いた測定器に相当するのが偏光板（polarizing filter）である。特に注目に値するのは、Fig.4の(b)の２枚の偏光板（0°と90°の）の場合よりも、(c)の３枚偏光板の方がより多くの光を通すことだ。通常のフィルタの常識とは逆の結果なのである。

　Fig.4の状況も、Fig.5に示す数学モデルで明快になるのである。この場合も、偏光板（Polarizer）の向きに対応する順序付き正規直交基底で説明できる。

■補足１（偏光板の軸の傾きと順序付き正規直交基底）

　例えば蛍光灯からは、毎秒10の20乗個の光子（光の最小単位）が放出される。光子ひとつづつが、それぞれランダムな方向に波打って進む。その波の傾きが、偏光板（フィルタ）の軸の傾きと一致すれば、その光子は偏光板を確実に通過する。一方、両者の傾きが直交する場合は、光子は通過できず確実に吸収される。では、それ以外の傾きの光子はどうなるのか？それを説明するのが、上記Fig.5なのである。偏光板の軸の傾きに対応した、順序付き正規直交基底（以後、単に基底と呼ぶ）は以下のようになる。その導出計算はここでは略す。

　基底の1番目のケットベクトルは偏光板の軸の傾きに対応し、２番目のケットベクトルは偏光板の軸に垂直な傾きに対応する。偏光板に向かってくる光子は、これら２つのケットベクトルの線形結合になっていると考える。そして、偏光板で見る（光子を計測する）時、光子が偏光板を通過する確率は、１番目のケットベクトルの係数の２乗となる。通過しない確率は２番目のケットベクトルの係数の２乗となる。これら２つの確率の和は1.0となる。これが要点である。

　例えば、Fig.4とFig.5の(c)のケースでは、１枚目の偏光板を通過した光子は全て、基底Aの１番目のケットベクトルになっている。それを２枚目の偏光板で測定する場合には、光子は基底Bの２つのケットベクトルの線形結合となる。したがって、基底Bでの測定で光子が通過する確率は、１番目のケットベクトルの係数の２乗、すなわち、0.5になる。３枚目の偏光板についても同様である。結論として、１枚目の偏光板を通過した光子が３枚目まで通過する確率は0.5x0.5=0.25となる。したがって、(c)の図のようにある程度の明るさでものが見えるのである。

■補足２（追加実験）

　最後に、念のためFig.6に示す追加実験を行った。つまり、Fig.4 (c)の実験で使った３番目の偏光板の向きを、２番目と同じく45度に揃えた。すると、順序付き正規直交基底が２番目と３番目の偏光板とで同一になる。そのため、１番目の偏光板を通過した光子の半数が２番目の偏光板を通過し、それらの光子が全て３番目の偏光板をそのまま通過したのである。その結果、(d)に示す通り、(c)の場合よりも明るく見えることが確認できた。

■補足３（過去のブログ記事）

　本件に関しては、過去に同様の記事（こちら）を書いた。武田俊太郎氏の解説に基づいたものである。今回の記事は、数学的にやや厳密になっている。

　さらなる詳細は、Prof. Bernhardtの書をご覧いただきたい。緻密でわかりやすい叙述のおかげで、一定の持続力があれば、上記３件の"測定"を十分に理解できるはずである。なお、Fig.1〜Fig.6は本書には掲載されていない。いずれも、小生の理解を明確にするために自作したものである。