SIC-POVMによる量子状態トモグラフィに関する実験

【要旨】量子状態トモグラフィは、未知の量子ビットの量子状態を突き止めるための概念である。その実現方法の一つとして、POVMがある。それは、同一の未知の量子状態を多数用意し、それらを測定することでその量子状態を明らかにする。POVMは、通常の正規直交基底への射影測定よりも広い、量子測定の一般的な枠組みである。ここではその一種であるSIC-POVMと呼ばれる測定を、1-qubitについて、IBM Quantum Computer実機で実施した。その結果、かなり高い精度で未知の量子状態を特定できることが分かった。

🟢 SIC-POVMの概要

　これは、長い名称「Symmetric Informationally Complete - Positive Operator-Valued Measure」の略称である。POVMの一般的な理論は、参考文献[1][2][3]などに示されている。特に、[3]にはSIC-POVMの詳細な説明がある。d次元の量子系では、SIC-POVMはd²個の射影演算子 E_i=|ψ_i><ψ_i|/d で構成され、次式が成立するように作られている。以下の|ψ_i>は、ブロッホ球上の純粋状態を表す状態ベクトルである。

|<ψ_i|ψ_j>|²=1/(d+1)   (i ≠ j)

　1-qubitの場合は、d=2なので、SIC-POVMは４個の状態ベクトルで構成され、そのどの２つのベクトル同士の内積の2乗も全て1/3となる。その具体例をFig.1に示す。計算を簡単にするため、４つの状態ベクトルのうち、１番目を|ψ₁>=|0>とするのが通例である。これら４つの状態ベクトルの頂点は、幾何学的に美しい、内接正４面体を構成している。

🟢 量子状態トモグラフィの実現

　未知の量子状態を突き止めるトモグラフィは、通常のZ軸測定だけでは実現できない。例えば、Z軸測定で|0>が50%、|1>が50%の確率で得られた場合、複数の候補が考えられるので、さらに、X軸測定とY軸測定を行う必要がある。

　これに対して、SIC-POVMは、４つの出力チャネルを持つ特別な測定器と考えられる。この測定器に、同一の未知の量子ビットを大量に投入すると、結果として、４つの出力に出現カウントが得られる。それらのカウントの比率（確率分布）が、"未知状態ベクトルとSIC-POVMの各頂点に対応する状態ベクトルとの重なりの度合い"を示す。すなわち、SIC-POVMの頂点iに対応する状態を|ψ_i>とすると、測定結果としての確率Piは以下のような内積計算になる。

P_i=(1/2)|<ψ_i|未知状態>|²

　そして、この確率を用いて、未知状態のブロッホ球のデカルト座標(X, Y, Z)は以下の公式で求められるのが注目すべき点である。

X=√2(2P₂ - P₃ - P₄)

Y=√6(P₃ - P₄)

Z=4P₁ - 1

🟢 Quantum Computer実機を使ったSIC-POVM測定

　特定の既知の量子状態を、未知の状態だと見做した場合、SIC-POVM測定によって、その量子状態を特定する（復元する）理論的計算は、特に問題がないであろう。しかし、それを、量子コンピュータ実機、または量子回路シミュレータで行うには少し工夫がいる。実機では、ある状態ベクトルと測定ベクトルとの内積を直接計算して確率を求めるわけではない。多数の同一の量子状態を繰り返し測定すると、各測定結果の出現頻度から、ボルンの法則により、測定確率を推定できる。

　しかしながら、一般的な量子コンピュータでは、ハードウェアが直接行える測定は計算基底（Z基底）での射影測定である。一方、SIC-POVMの4つの測定方向のうち3つは、Fig.1に示したとおり、ブロッホ球上で南半球へ向かう斜め方向にある。そこで、SIC-POVMの各測定方向がZ軸に一致するように、測定直前に適切なユニタリ演算（回転）を施す。その後に通常のZ基底測定を行うことで、そのSIC-POVM要素に対応する測定確率を得る。今回も、これに従って測定を行った。

🟢 未知量子状態と見做した２つの量子状態

　今回の実験では、Fig.2に示す２つの既知の量子状態を未知状態と見做して測定した。いずれも、ブロッホ球面にある純粋状態である。Case1では、それは赤道上にあり、位相角は0である。Case2では、南半球上にあり、位相角はπ/3である。Case1の方が、Case2よりも量子状態の特定は容易であろうと予想された。

　なお、以下の測定では、”未知の量子状態"として設定した情報（θとφ）は全く使用していない。SIC-POVMの４つの測定方向だけを使っている。従って、"真の未知状態"が入力された場合も同様に特定できる。

🟢 SIC-POVM測定による未知量子状態の復元結果

　これら２つのケースについて、QiskitシミュレータとIBM Quatnum実機（ibm_kingston）による測定結果をTable1に示す。未知状態に設定した状態のデカルト座標（X,Y,Z）が示されている。また、シミュレータと実機の測定に基づく確率が、(P₁, P₂, P₃, P₄)として示されている。それに基づいて復元したデカルト座標に注目していただきたい。実機では、予想通り、Case1の未知状態がほぼ完璧に復元できている。また、Case2の未知状態も、かなり高い精度で特定された。

【POVMに関する参考文献】

[1] Peter Y. Lee, Huiwen Ji, Ran Cheng, "Quantum Computing and Information", 2nd Edition, Polaris QCI Publishing, 2025.

(Chapter 12(Density Operators and Quantum Channels))

[2] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information", Version 13, Cambridge University Press, 2023.

(2.2.6 POVM measurements)

[3] John Watrous, "General formulation of quantum information" in IBM Quantum Platform Learning.
https://quantum.cloud.ibm.com/learning/en/courses/general-formulation-of-quantum-information/general-measurements/introduction