【要旨】著名な量子アルゴリズムの一つであるGrover search algorithmについては、すでに以下の記事で述べていますので、ここではその意味や解法の詳細説明は略します。
今回の記事では、確率振幅の反転と、平均値を中心とした折り返しに関して復習します。最新のIBM量子コンピュータ（127量子ビット）による実行結果も含みます。以下の考察は、参考文献[1]から得た知識に基づいています。
●Groverのアルゴリズムの量子回路
ここでは2qubits（量子ビット数n=2）の場合を考える。そのほかに、制御用の1qubitを使う。その量子回路をFig.1に示した。全てのqubitsについて、初期状態として均等な重ね合わせ状態を作るため、Hadamardゲートを適用する。次に、対象とする関数fに対してOracle Fを構成する。f(xy)=1となるビット列xyが探索するものである。今はそのターゲットを、xy=10と設定した。このOracleFの機能は、このターゲットに対応するbasis |10>の確率振幅の符号を反転させること（flipping the sign）である。それ以外のbasisの確率振幅は変更しない。
次のゲートAは、上位の２qubitsシステムの４つのbasisの確率振幅を、それらの値の平均値を中心に反転（inversion about the mean）させる。これによって、前段のOracleで符号反転された確率振幅だけが増幅され、他は減衰することになる。ゲートFとゲートAをセットで繰り返すことによって、（ほぼ1.0に近い）高い確率で特定のbasisが測定されるようになる。それが求めるものである。この繰り返しは、n=2の場合は１回で済む。
●Amplitude Amplification Matrix
さて、Fig.1の右上に示した行列A（対角要素が-1で他の要素は１）を、「確率振幅を要素とするケットベクトル」に掛ければ、確かに上記の通り、確率振幅が増幅されることが分かる。そのことは、参考文献[1]の第9章に詳しく書かれている。だが、どのようにこの行列を導出したのであろうか？それをFig.2で説明する。ここではn=2の場合を扱うのだが、一般のnに対して考察した方が分かり易い。要は、要素の値aを要素全体の平均値mの周りに反転させた結果は、2m-aとなることを利用しているのである。
●Execution on the IBM Quantum 127 qubits real machine
以上の準備をしてFig.3に示した量子回路を実行する。Oracle Fの回路は、f(10)=1に対して構成した。また、平均値で折り返す振幅増幅部（紫色のAmpというゲート）は、Hadamardゲート、Xゲート、制御付きXゲートで構成することもできるが、Fig.2で示したユニタリ行列Aをそのまま与えることもできる。後者の方が、考え易いように思われる。
その実行結果をFig.4に示す。(a)7-qubits Falconプロセッサのibm_lagos、(b)127-qubits Eagleプロセッサのibm_brisbane、(c)ibmq_qsam simulatorの実行結果である。まず、(c)のシミュレータでは、ターゲットのbasisが理論通り、確率1.0で測定された。
一方、実機(a)lagosのエラー発生率は比較的高く、ターゲットのbasisは確率0.75で測定され、他のbasisも若干測定された。だが、最新機(b)brisbaneでは、ターゲットのbasisの確率は0.87まで向上した。目的の解を求めるには十分な情報が得られた。
●感想
昨年までは、IBMは一般ユーザに5-qubitsおよび7-qubitsのリアルマシンを無償提供していたが、最近、実に127-qubitsという最新マシンも、無料で使えるようにした。実は、2023年４月に、「北米以外で初めて、東大にIBM Eagle 127量子ビットコンピュータを導入」のニュース[2]があった。それから僅か半年で、これと（恐らく）同じ量子コンピュータを、上記の通り、誰でもwebから使えるようになったのである。驚くべき、量子コンピュータの進歩である！
127量子ビットは、原理的には、2の127乗(=10の38乗)個の状態を同時に処理できる可能性を秘めている。アルゴリズムの発案次第である。そんなマシンを、今や、自宅からweb経由で利用できるのであるから、まだまだ課題は山積ではあるが、夢は膨らむ。
●Prof. Chris Bernhardtからのコメント
（英語版記事はこちら）
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Dear Fujio,
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Chris
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Fujio
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References
[1] Chris Bernhardt: Quantum Computing for Everyone, The MIT Press, 2020.
[2] 東大にIBMの127量子ビットコンピュータ導入のニュース
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