【要旨】古典／量子カーネル(+SVC)の基本的な理解を深めるため、両者のクラス分け（分類）性能を比較した。現状では、多くの場合、古典カーネルが高い精度を示す。しかし、特殊なAd-hocデータに対しては、古典カーネルは対応できない反面、量子カーネルは完璧な分類結果を示した。ここに、量子カーネルの可能性を見ることができる。
🟢量子カーネルの概要
まず、量子カーネルの概要を図１に示す。量子特性（重ね合せ、もつれ、位相、干渉）を生かしたFeature Mapと呼ばれる量子回路を用いることが特徴である。これによって、元の２次元データの座標を、高次元（この例では４次元）の量子状態ベクトルへ変換する。そして、その空間でのデータ間類似度を計算する。これも、量子回路で実行される。その情報とラベル情報を使って、古典的なSVC学習器を学習させる。
Feature Mapにはいくつか種類があるが、ここでは、有名なZZFeature Mapというものを使う。その狙いは、一言で言えば、「古典的には表現困難な非線形の相関を捉える」ことである。従来の古典的な類似度の計算では、座標データが使われるが、このマッピングでは、座標データは量子の位相情報も埋め込んだ情報に変換されるので、位相の近似性も反映した学習となるはずである。
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| 図１ 量子カーネルの概要 |
🟢 実データ（金融 default）の分類
金融defaultに関する実データ（
Javier Mancilla Montero, PhDによる）の分類を試みる。ここに、1,000人の顧客の情報がある。各人には20個の調査項目の値とdefault（債務不履行）か否かのラベルが付いている。この生データは、20次元データなので、主成分分析により次元削減を行う。この例では２次元とした。Feature Mapでは、項目（特徴量）ごとに量子ビットが必要なため、そのようにするのが通例である。
図２右上は、分類にかける状態である。その下に、古典カーネルによる分離結果を示した。精度0.94で、defaultか否かの境界線が引かれている。一方、その左に、量子カーネルによる結果がある。境界線はやや異なるが、量子カーネルの場合も同様に高い性能を示した。
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| 図２ 金融defaultの実データ1,000件の分類 |
これ以外の実データセットとして（詳細は略すが）、腫瘍（特徴量30個）のサンプル569件がある。その良性 (Benign) ／悪性 (Malignant) 分類問題でも、古典カーネル、量子カーネルとも精度0.90を超える結果出している。これらの分類問題では、長年の実績を持つ古典カーネルを使えば十分のように見える。しかし、全く新しい方法である量子カーネルも、実問題に対して同程度の分類性能を示したことは、注目すべきではないか。
🟢人工的なデータセット(Ad-hocデータ)の分類
次に、量子カーネル（特に、ZZFeature Map）を評価するために作られたAd-hocデータセット（
こちらを参照）で試みる。図３右上をご覧いただきたい。赤と青の点が、合計720個ランダムに散在している。だが、何か規則性もあるようだ。実際、データ点数を増やして行くと、赤青の市松模様に近づく。
まず、これを古典カーネルで分類した。図３右下の通り、このような単純な境界線しか引くことができなかった。これでは、精度は50%台にとどまる。SVCのいくつかのパラメータを変更しても、ほとんどこれと変わらない。
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| 図３ Ad-hocデータセットの古典カーネルによる分類 |
次に、量子カーネルを適用した。その結果が図４である。図４右下の通り、正解率100%となる完璧な境界線が引かれた。その左側の図は、この境界線が引かれた時の、境界関数の山と谷の等高線をカラーで示したものである。
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| 図４ Ad-hocデータセットの量子カーネルによる分類 |
このデータセットは、ad-hocという名の通り、量子の空間（ヒルベルト空間）で綺麗に分離できるデータを、通常の２次元平面に写像して作ったものなので、当然、量子カーネルで完全に分離できたのである。
そうであっても、この結果は、量子重ね合せ、位相、もつれを巧みに利用したZZFeature Mapの効果なのだと言える。特殊なデータセットではあるが、古典カーネルでは困難な、新たな領域を探求できる量子カーネルの可能性を示しているようだ！
🔵簡単だが、以下の項目も含むので、初級演習課題、体験学習に向いているかも？